www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Analysis des R1" - offene Überdeckung
offene Überdeckung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Analysis des R1"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

offene Überdeckung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:14 Do 24.04.2014
Autor: mimo1

Aufgabe
Gegeben sei die Familie offener Mengen [mm] (U_k)_k \in [/mm] IN mit [mm] U_k.=(\bruch{1}{k},\bruch{2}{k}) [/mm] und eine Menge definiert als

i) M=(0,1),
ii) M=[0,1],
iii) [mm] M=[\varepsilon,1-\varepsilon] [/mm]

Gibt es [mm] k_1,...,k_r \in \IN [/mm] so, dass M [mm] \subset U_k_1 \cup [/mm] ... [mm] \cup U_k_r [/mm] ? Beweisen sie ihre Behauptung

Hallo zusammen,

ich bin wie folgt an die aufgabe herangegangen:

zu i) ich habe für für k paar zahlen eingesetzt:

[mm] U_1 [/mm] =( 1, 2), [mm] U_2 [/mm] =( [mm] \bruch{1}{2},1), U_3=( \bruch{1}{3}, \bruch{2}{3}), U_4=( \bruch{1}{4}, \bruch{1}{2}), U_5=( \bruch{1}{5}, \bruch{2}{5}),.... [/mm]

man sieht dass die Teilintervalle werden immer kleiner.

aber man erkennt auch das M in der Vereinigung der offenen Teilintervall liegt:

(0,1) [mm] \subset [/mm] (1,2) [mm] \cup [/mm] ( [mm] \bruch{1}{2},1) \cup [/mm] ( [mm] \bruch{1}{3}, \bruch{2}{3}) \cup..... [/mm]

zu ii) liegt nicht in der Vereinigung der Teilintervalle, da man mit den offenen teilintervalle nicht die randpunkt von M erreicht.

zu iii) M ist teilmenge der vereinigung der offenen teilintervalle.

die obere grenze von M ist positv, wegen 0 < [mm] \varepsilon [/mm] < [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und somit für 1- [mm] \varepsilon [/mm] immer positiv ist. ich habe dann eine bel. [mm] \varepsilon [/mm] gewählt z.B. [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] und erhalte dann
[mm] M=[\bruch{1}{3}, \bruch{2}{3}] [/mm] und M würde schon in [mm] U_1 [/mm] liegen, alos auch in der Vereinigung der offenen Teilintervalle. und das gilt für alle [mm] \varepsilon [/mm] da 0< [mm] \varepsilon [/mm] < [mm] \bruch{1}{2}. [/mm]

stimmt es was ich mir da überlegt habe? falls ja, würde es schon als Beweis ausreichen? danke schön im voraus.

gruß,
mimo1

        
Bezug
offene Überdeckung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:29 Do 24.04.2014
Autor: Richie1401

Hi,

> Gegeben sei die Familie offener Mengen [mm](U_k)_k \in[/mm] IN mit
> [mm]U_k.=(\bruch{1}{k},\bruch{2}{k})[/mm] und eine Menge definiert
> als
>  
> i) M=(0,1),
>  ii) M=[0,1],
>  iii) [mm]M=[\varepsilon,1-\varepsilon][/mm]
>  
> Gibt es [mm]k_1,...,k_r \in \IN[/mm] so, dass M [mm]\subset U_k_1 \cup[/mm]
> ... [mm]\cup U_k_r[/mm] ? Beweisen sie ihre Behauptung

Nicht schön. Also mit ner Klammer, macht das mehr Sinn:

   [mm] M\subset(U_{k_1}\cup\ldots\cup{U_{k_r}}) [/mm]

>  Hallo zusammen,
>  
> ich bin wie folgt an die aufgabe herangegangen:
>  
> zu i) ich habe für für k paar zahlen eingesetzt:
>  
> [mm]U_1[/mm] =( 1, 2), [mm]U_2[/mm] =( [mm]\bruch{1}{2},1), U_3=( \bruch{1}{3}, \bruch{2}{3}), U_4=( \bruch{1}{4}, \bruch{1}{2}), U_5=( \bruch{1}{5}, \bruch{2}{5}),....[/mm]
>  
> man sieht dass die Teilintervalle werden immer kleiner.
>  
> aber man erkennt auch das M in der Vereinigung der offenen
> Teilintervall liegt:
>  
> (0,1) [mm]\subset[/mm] (1,2) [mm]\cup[/mm] ( [mm]\bruch{1}{2},1) \cup[/mm] (
> [mm]\bruch{1}{3}, \bruch{2}{3}) \cup.....[/mm]

Ja?

Bedenke, dass du nur endlich viele [mm] U_k [/mm] vereinigst. Die Frage ist also, ob es ein [mm] r\in\IN [/mm] gibt, so dass

   [mm] M\subset\bigcup_{k=1}^rU_k [/mm]

>  
> zu ii) liegt nicht in der Vereinigung der Teilintervalle,
> da man mit den offenen teilintervalle nicht die randpunkt
> von M erreicht.

ich sag mal so: Wenn das ganze für M aus i) nicht gilt, dann ist das für ii) erst Recht nicht der Fall.

>  
> zu iii) M ist teilmenge der vereinigung der offenen
> teilintervalle.
>  
> die obere grenze von M ist positv, wegen 0 < [mm]\varepsilon[/mm] <
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] und somit für 1- [mm]\varepsilon[/mm] immer positiv
> ist. ich habe dann eine bel. [mm]\varepsilon[/mm] gewählt z.B.
> [mm]\varepsilon[/mm] = [mm]\bruch{1}{3}[/mm] und erhalte dann
>  [mm]M=[\bruch{1}{3}, \bruch{2}{3}][/mm] und M würde schon in [mm]U_1[/mm]
> liegen, alos auch in der Vereinigung der offenen
> Teilintervalle. und das gilt für alle [mm]\varepsilon[/mm] da 0<
> [mm]\varepsilon[/mm] < [mm]\bruch{1}{2}.[/mm]

Du darfst dein [mm] \epsilon [/mm] nicht fest wählen, sondern musst es immer variabel lassen.
Finde ein [mm] r(\epsilon), [/mm] sodass M in der Vereinigung enthalten ist.

(Erinnere dich an Folgen - da hast du auch ein [mm] n_0(\epsilon) [/mm] gesucht, damit die Folge [mm] |a_n-a|<\epsilon [/mm] für alle [mm] n>n_0. [/mm] Das Prinzip ist hier ähnlich.)

>  
> stimmt es was ich mir da überlegt habe? falls ja, würde
> es schon als Beweis ausreichen? danke schön im voraus.
>  
> gruß,
>  mimo1


Bezug
                
Bezug
offene Überdeckung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:46 Fr 25.04.2014
Autor: mimo1

ich habe zu iii) vergessen zu erwähnen dass noch vorausgesetzt wurde:
M=[ [mm] \varepsilon, [/mm] 1- [mm] \varepsilon], [/mm] mit beliebig aber festen 0 < [mm] \varepsilon [/mm] < [mm] \bruch{1}{2} [/mm]

ist dann meine idee zu iii) dann richtig?

Bezug
                        
Bezug
offene Überdeckung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:32 So 27.04.2014
Autor: leduart

Hallo
nein du musst für ein beliebiges [mm] \epsilon [/mm] ein  k angeben!
Gruss leduart

Bezug
                
Bezug
offene Überdeckung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:38 So 27.04.2014
Autor: mimo1

hallo,
und ich hoffe jemand kann mir etwas sagen, ob meine überlegung zu ii) richtig ist:

aus der vorlesung:  Eine Teilmenge A eines metrischen Raumes X heißt kompakt, wenn es zu jeder offenen Überdeckung [mm] \!\ (U_i)_i\in [/mm] I von A endlich viele Indizes [mm] \!\ i_1,...i_k \in [/mm] I gibt, so dass

    [mm] \!\ [/mm] A [mm] \subset U_{i_1} \cup U_{i_2} \cup [/mm] ... [mm] \cup U_{i_k} [/mm]

da M=[0,1] kompt, folgt es dann schon? es würde zwar gelten, aber der randpkt 0 vom intervall wir nicht angenommen.
kann mir da jemand helfen?

Bezug
                        
Bezug
offene Überdeckung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:37 So 27.04.2014
Autor: leduart

Hallo
dieser Satz nützt dir nichts, weil du keine endlich vielen deiner [mm] U_k [/mm] angeben kannst, die M überdecken.
du fragst  folgt "es" dann schon, was ist 'es"?
mache zuerst i, dann folgt ii direkt.
Gruß leduart

Bezug
                                
Bezug
offene Überdeckung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:45 So 27.04.2014
Autor: mimo1

zu i) habe ich folgende:

M=(0,1) habe keine endl. [mm] K_1,...,k_r [/mm] ,da es kein r [mm] \in [/mm] IN ex. s.d gilt
[mm] \bigcup_{i=1}^{r}U_k_i \supseteq [/mm] (0,1)

ist es richtig? vielen vielen dank für deine hilfe und schnelle antwort.

gruß, mimo1

Bezug
                                        
Bezug
offene Überdeckung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:13 So 27.04.2014
Autor: leduart

Hallo
du musst das noch etwas genauer begründen, es gibt kein endliches k so dass 1/k beliebig nahe an 0 kommt.
sonst richtig.
Gruss leduart

Bezug
                                                
Bezug
offene Überdeckung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 19:57 So 27.04.2014
Autor: mimo1

hallo leduart,

nochmals vielen vielen dank.

jetzt habe ich noch eine frage zu iii) : ex für M auch keine endl Teilüberdeckung? ich habe mal möglichst kleine [mm] \varepsilon [/mm] mit  [mm] \varepsilon=1/n, [/mm] dann sieht man für
[mm] \bigcup_{i=1}^{n} U_k_n= [/mm] (1,2) [mm] \cup (1/2,1)\cup...\cup(1/n,2/n) [/mm] mit n [mm] \in\IN [/mm] das für M=[1/n,1-1/n] für der randpunkt 1/n nicht angenommen wird und nicht, daher ex. keine endl. Teilüberdeckung.

ist es richtig? ich hoffe ich mach dir keine umstände.



Bezug
                                                        
Bezug
offene Überdeckung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:20 Di 29.04.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Analysis des R1"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de