links-/rechtsseitigeGW,monoton < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:28 Fr 12.12.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Warum existiert bei einer monotone Funktion f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] an jeder Stelle der linksseitige sowie rechtsseitige Grenzwert?(ich sag nich dass diese gleich sind, aber beide existieren)
Also:
Sei x [mm] \in \IR [/mm] beliebig. Für jede Folge [mm] (x_n) [/mm] mit [mm] x_n [/mm] in [mm] \IR [/mm] und [mm] x_n [/mm] < x so dass [mm] x_n [/mm] -> x [mm] (n->\infty) [/mm] gilt: [mm] lim_{n->\infty} f(x_n)=c
[/mm]
Bzw. Für jede Folge [mm] (x_n) [/mm] mit [mm] x_n [/mm] in [mm] \IR [/mm] und [mm] x_n [/mm] > x so dass [mm] x_n [/mm] -> x [mm] (n->\infty) [/mm] gilt: [mm] lim_{n->\infty} f(x_n)=d [/mm] |
Hallo zusammen,
Die Frage kam auf bei dem Beweis, dass monotone Funktionen f: [mm] \IR-> \IR [/mm] höchstens abzählbar viele Unstetigkeitsstellen haben. Im Hinweis stand, dass man die Sprunghöhe betrachten soll. Hierzu bräuchte ich aber, dass es eben immer ein linksseitiger bzw. rechtsseitiger Grenzwert existiert.
LG,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:21 Fr 12.12.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo sissile!
Heuser:
Eine auf [mm] $[a,b]\$ [/mm] monotone Funktion [mm] $f\$ [/mm] besitzt in jedem Punkt von [mm] $[a,b]\$
[/mm]
alle einseitigen Grenzwerte, die sinnvollerweise vorhanden sein
können, d.h., es existieren die Limites
[mm] f(\xi-) [/mm] für alle [mm] \xi\in(a,b] [/mm] und [mm] f(\xi+) [/mm] für alle [mm] \xi\in[a,b).
[/mm]
Bei mir ist das Satz 39.3. Deine Aufgabe findest du auch dort.
Gruß
DieAcht
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:03 Fr 12.12.2014 | | Autor: | sissile |
Danke für den Hinweis, aber ich hab das Buch momentan nicht da (borge es mir immer in der Bibliothek aus).
Ich hab etwas herumprobiert:
O.B.d.A sei f monoton steigend,
y [mm] \in [/mm] [a,b] beliebig aber fest
A= [mm] \{f(x)|x
A ist durch f(y) nach oben beschränkt, demnach hat A ein Supremum.
(*) Wenn y=a ist, dann ist jedoch A leer? Was mache ich in dem Fall?
[mm] \forall \epsilon>0: \exists x_0 [/mm] < y : sup A - [mm] \epsilon [/mm] < [mm] f(x_0) [/mm] < sup (A) [mm] \le [/mm] f(y)
Sei [mm] (t_n)_{n\in\IN} [/mm] eine beliebige Folge mit [mm] t_n [/mm] -> y mit [mm] t_n [/mm] < y [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
ZZ.: [mm] \exists lim_{n->\infty} f(t_n)
[/mm]
[mm] f(t_n) \in [/mm] A [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] => [mm] f(t_n) \le [/mm] sup A [mm] \le [/mm] f(y)
Da [mm] t_n [/mm] gegen y konvergiert, [mm] \exists [/mm] ein Index [mm] n_0\in \IN [/mm] sodass [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge n_0 :x_0 \le t_n [/mm] wegen Monotonie folgt [mm] f(x_0) \le f(t_n)
[/mm]
D.h. wir haben die Ungleichungskette: sup A - [mm] \epsilon [/mm] < [mm] f(x_0) \le f(t_n) [/mm] < sup(A) + [mm] \epsilon \forall [/mm] n [mm] \ge n_0
[/mm]
q.e.d.
Beim rechtsseitigen Limes analog mit der Menge:
B= [mm] \{f(x)|y
Selbe Problem wenn y=b ist.
Ich hoffe es passt so, wie gesagt bei (*) hab ich eine kleine Frage.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:42 Fr 12.12.2014 | | Autor: | DieAcht |
Ich habe gerade keine Zeit auf deinen Beweis einzugehen, aber
bezüglich deiner Frage: Heuser hat die Fälle ausgeschlossen.
Die von dir erwähnten zwei Fälle machen natürlich keinen Sinn
und aus diesem Grund existieren die Limites
[mm] f(\xi-) [/mm] für alle [mm] \xi\in(a,b] [/mm] und [mm] f(\xi+) [/mm] für alle [mm] \xi\in[a,b).
[/mm]
(Beachte die Klammerung!)
Und zwar ist für wachsendes [mm] $f\$
[/mm]
[mm] f(\xi-)=\sup\{f(x)\colon x\in[a,\xi)\} [/mm] und [mm] f(\xi+)=\inf\{f(x)\colon x\in(\xi,b]\}.
[/mm]
(Das steht auch im Heuser.)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:56 Sa 13.12.2014 | | Autor: | sissile |
Ja, das ist mir nun klar geworden. Danke!!
Ja, ich weiß ich muss in die Bibliothek fahren und mir Heuser holen;=)
LG,
sissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 So 14.12.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:54 Sa 13.12.2014 | | Autor: | fred97 |
Schau mal hier:
http://www.iadm.uni-stuttgart.de/LstAnaMPhy/Weidl/analysis/vorlesung-analysis/node113.html
FRED
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