komplexe Nullstellen bestimmen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:30 Mi 11.01.2017 | | Autor: | arti8 |
| Aufgabe | | [mm] \lambda^{3}=27 [/mm] |
Guten Abend,
Ich versuche grade die komplexen Nullstellen zu berechnen. Ich weiß leider nicht wie. Ich habe es bereits so versucht:
[mm] \lambda1=3
[/mm]
Polynomdivision:
[mm] \lambda^{3}:(x-3) [/mm] = [mm] \lambda^{2}+3\lambda+9+\bruch{27}{\lambda -3}
[/mm]
Meine Idee war es die restlichen Nullstellen über die pq-Formel zu lösen. Jetzt habe ich allerdings einen Rest. Und bei einer Nullstelle sollte ja eigentlich kein Rest raus kommen.
Kann ich die Nullstellen den so auch berechnen ? Oder muss ich das anders angehen ? Was mache ich mit dem Rest ?
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> [mm]\lambda^{3}=27[/mm]
> Guten Abend,
>
> Ich versuche grade die komplexen Nullstellen zu berechnen.
Hallo,
die komplexen Nullstellen welcher Funktion?
Ich sage es Dir: von [mm] f(x)=x^3-27.
[/mm]
> Ich weiß leider nicht wie. Ich habe es bereits so
> versucht:
>
> [mm]\lambda_1=3[/mm]
Okay. Durch Wissen, Raten oder Eingebung hast Du diese Nullstelle gefunden.
>
> Polynomdivision:
>
> [mm]\lambda^{3}:(x-3)[/mm] =
Nein, Du mußt doch rechnen
[mm] (x^3-27):(x-3)=...,
[/mm]
denn wie oben erwähnt, suchst Du die Nullstellen von [mm] f(x)=x^3-27.
[/mm]
Das geht dann auch auf, und Du kannst weitermachen wie geplant.
LG Angela
> [mm]\lambda^{2}+3\lambda+9+\bruch{27}{\lambda -3}[/mm]
>
> Meine Idee war es die restlichen Nullstellen über die
> pq-Formel zu lösen. Jetzt habe ich allerdings einen Rest.
> Und bei einer Nullstelle sollte ja eigentlich kein Rest
> raus kommen.
>
> Kann ich die Nullstellen den so auch berechnen ? Oder muss
> ich das anders angehen ? Was mache ich mit dem Rest ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Mi 11.01.2017 | | Autor: | arti8 |
> > [mm]\lambda^{3}=27[/mm]
> > Guten Abend,
> >
> > Ich versuche grade die komplexen Nullstellen zu
> berechnen.
>
> Hallo,
>
> die komplexen Nullstellen welcher Funktion?
> Ich sage es Dir: von [mm]f(x)=x^3-27.[/mm]
Ja stimmt, furchtbarer Fehler von mir. Ist mir nicht aufgefallen.
>
> > Ich weiß leider nicht wie. Ich habe es bereits so
> > versucht:
> >
> > [mm]\lambda_1=3[/mm]
>
> Okay. Durch Wissen, Raten oder Eingebung hast Du diese
> Nullstelle gefunden.
>
die Nullstelle habe ich bestimmt indem ich [mm] \lambda=\wurzel[3]{27} [/mm] gerechnet habe.
Somit ist meine erste Nullstelle: [mm] \lambda_1=3
[/mm]
Oder ist das mathematisch falsch ?
>
> >
> > Polynomdivision:
> >
> > [mm]\lambda^{3}:(x-3)[/mm] =
>
> Nein, Du mußt doch rechnen
>
> [mm](x^3-27):(x-3)=...,[/mm]
>
> denn wie oben erwähnt, suchst Du die Nullstellen von
> [mm]f(x)=x^3-27.[/mm]
>
> Das geht dann auch auf, und Du kannst weitermachen wie
> geplant.
>
> LG Angela
>
>
>
>
> > [mm]\lambda^{2}+3\lambda+9+\bruch{27}{\lambda -3}[/mm]
> >
> > Meine Idee war es die restlichen Nullstellen über die
> > pq-Formel zu lösen. Jetzt habe ich allerdings einen
> Rest.
> > Und bei einer Nullstelle sollte ja eigentlich kein Rest
> > raus kommen.
> >
> > Kann ich die Nullstellen den so auch berechnen ? Oder
> muss
> > ich das anders angehen ? Was mache ich mit dem Rest ?
Vielen Dank für die Hilfe. Also geht es doch. :)
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Hallo,
[mm] x_1=3 [/mm] ist richtig. Daher muss die Polynomdivision
[mm] (x^3-27):(x-3)
[/mm]
ohne Rest aufgehen. Und das Resultat ist dann quadratisch, also bietet sich natürlich die pq-Formel an.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:40 Mi 11.01.2017 | | Autor: | arti8 |
Super vielen Dank für die Hilfe. :)
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Hallo,
wenn man komplexe Nullstellen berechnet, dann hat man ja auch sicherlich die Gaußsche Ebene schon durchgenommen.
In dieser liegen die drei Lösungen auf einem Kreis um 0 mit dem Radius R=3 und schließen paarweise einen Winkel von [mm] \frac{2}{3}\pi [/mm] ein. Damit findet man die Nullstellen am einfachsten.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 Mi 11.01.2017 | | Autor: | arti8 |
> Hallo,
>
> wenn man komplexe Nullstellen berechnet, dann hat man ja
> auch sicherlich die Gaußsche Ebene schon durchgenommen.
>
> In dieser liegen die drei Lösungen auf einem Kreis um 0
> mit dem Radius R=3 und schließen paarweise einen Winkel
> von [mm]\frac{2}{3}\pi[/mm] ein. Damit findet man die Nullstellen am
> einfachsten.
>
> Gruß, Diophant
So habe ich es auch schon versucht.
Wäre das mathematisch korrekt wenn mein Weg so wäre ?
[mm] \lambda^{3}=27
[/mm]
[mm] \lambda_1=\wurzel[3]{27}=3
[/mm]
[mm] \lambda_{2/3}=\pm 3*e^{i*120°}=\pm 3*e^{i*\bruch{2*\pi}{3}}=\pm 3*(cos(\bruch{2*\pi}{3})+i*sin(\bruch{2*\pi}{3}))
[/mm]
[mm] \lambda_2=\bruch{-3}{2}+i*\bruch{3*\wurzel{3}}{2}
[/mm]
[mm] \lambda_3=\bruch{3}{2}-i*\bruch{3*\wurzel{3}}{2}
[/mm]
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Hallo,
(ich kann gerade schlecht zitieren, da ich vom Smartphone aus schreibe)
Das ist noch falsch. Das +/- gehört in das Argument, nicht vor die Zahl(en)!
Gruß, Diophant
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