www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - globale Extrema bestimmen
globale Extrema bestimmen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

globale Extrema bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:46 Sa 05.08.2017
Autor: Chilledkroeten

Aufgabe
Gegeben ist die Funktion
[mm] f(x,y,z)=e^{x}(x^{2}+y^{2}+z^{2}+\bruch{3}{4}) [/mm]

a)Unersuchen Sie die Funktion auf Extremstellen
b)Hat die Funktion globale Extrema?

Hallo,
habe folgende Frage zu obiger Aufgabe: Wie bestimme ich in b) die globalen Extrema? Ich habe bereits für a) folgende Extrema berechnet:
[mm] (-\bruch{1}{2},0,0) [/mm] ist ein Minimum und [mm] (-\bruch{3}{2},0,0) [/mm] ist ein Maximum.

Ich weiß nur nicht genau, wie ich in b) vorzugehen habe.

Vielen Dank im voraus!

        
Bezug
globale Extrema bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:02 Sa 05.08.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Gegeben ist die Funktion
> [mm]f(x,y,z)=e^{x}(x^{2}+y^{2}+z^{2}+\bruch{3}{4})[/mm]

>

> a)Unersuchen* Sie die Funktion auf Extremstellen
> b)Hat die Funktion globale Extrema?
> Hallo,
> habe folgende Frage zu obiger Aufgabe: Wie bestimme ich in
> b) die globalen Extrema? Ich habe bereits für a) folgende
> Extrema berechnet:
> [mm](-\bruch{1}{2},0,0)[/mm] ist ein Minimum und
> [mm](-\bruch{3}{2},0,0)[/mm] ist ein Maximum.

>

> Ich weiß nur nicht genau, wie ich in b) vorzugehen habe.

>

Vorneweg: ich habe jetzt deine Lösungen zu a) nicht nachgerechnet (ist ja aber auch nicht dein Anliegen?). Die Aufgabe b) ist eher etwas zum Nachdenken als zum Rechnen. Ein scharfer Blick auf den Funktionsterm zeigt sofort, dass diese Funktion kein globales Maximum annehmen kann, dagegen auf jeden Fall ein globales Minimum besitzen muss. dass diese Funktion kein globales Extremum annehmen kann. Überlege dir dazu einfach, was die Funktion f entlang der x-Achse so macht...

EDIT: ich hatte mich vorhin mit dem Minimum vertan, daher die Korrektur.


Gruß, Diophant

* Ist das eine pfälzische Matheaufgabe? ;-)

Bezug
                
Bezug
globale Extrema bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:32 Sa 05.08.2017
Autor: Chilledkroeten

Danke für die schnelle Rückmeldung!
> Vorneweg: ich habe jetzt deine Lösungen zu a) nicht
> nachgerechnet (ist ja aber auch nicht dein Anliegen?).

Genau, zu Teil a) habe ich keine Frage.

> Überlege dir dazu einfach, was die Funktion f entlang der
> x-Achse so macht...

Ok, setze ich dann einfach alle anderen Variablen außer x gleich null und schaue mir den limes gegen +/- unendlich an? Wenn ja, dann gucke ich mir den Limes von folgender Funktion an:
[mm] e^{x}(x^{2}+\bruch{3}{4}) [/mm]
der limes gegen unendlich läuft dann für x gegen unendlich.

Der limes gegen minus unendlich ist etwas schwieriger:
Die e Funktion läuft gegen null für -undendlich, das [mm] x^{2} [/mm] läuft gegen unendlich. Das sagt noch nichts aus, weshalb ich den Term in einen Bruch umwandel und den  l'Hospital anwende, oder? Dann hätte ich stehen

[mm] \bruch{x^{2}+\bruch{3}{4}}{e^{-x}} [/mm]

Zähler und Nenner laufen dann gegen unendlich und ich kann den  l'Hospital  anwenden. Ich leite Zähler und Nenner getrennt ab bis ich [mm] \bruch{2}{e^{x}} [/mm] erhalte.
Das läuft dann gegen 0 für minus unendlich.

Frage: Was sagt mir das dann in Bezug auf die globalen Extrema? Muss ich die anderen Variablen nicht auch betrachten, oder warum schaue ich mir nur x an?

> * Ist das eine pfälzische Matheaufgabe? ;-)

Nein, warum? :D


Bezug
                        
Bezug
globale Extrema bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:45 Sa 05.08.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> > Überlege dir dazu einfach, was die Funktion f entlang der
> > x-Achse so macht...
> Ok, setze ich dann einfach alle anderen Variablen außer x
> gleich null und schaue mir den limes gegen +/- unendlich
> an? Wenn ja, dann gucke ich mir den Limes von folgender
> Funktion an:
> [mm]e^{x}(x^{2}+\bruch{3}{4})[/mm]
> der limes gegen unendlich läuft dann für x gegen
> unendlich.

Ja, genau.

>

> Der limes gegen minus unendlich ist etwas schwieriger:
> Die e Funktion läuft gegen null für -undendlich, das
> [mm]x^{2}[/mm] läuft gegen unendlich. Das sagt noch nichts aus,
> weshalb ich den Term in einen Bruch umwandel und den
> l'Hospital anwende, oder? Dann hätte ich stehen

>

> [mm]\bruch{x^{2}+\bruch{3}{4}}{e^{-x}}[/mm]

>

> Zähler und Nenner laufen dann gegen unendlich und ich kann
> den l'Hospital anwenden. Ich leite Zähler und Nenner
> getrennt ab bis ich [mm]\bruch{2}{e^{x}}[/mm] erhalte.
> Das läuft dann gegen 0 für minus unendlich.

Auch richtig (bis auf das Vorzeichen im Exponenten des Nenners).

>

> Frage: Was sagt mir das dann in Bezug auf die globalen
> Extrema? Muss ich die anderen Variablen nicht auch
> betrachten, oder warum schaue ich mir nur x an?

Wenn f in eine Richtung gegen [mm] \infty [/mm] strebt, ist die Sache mit den globalen Maxima gegessen.

Da man ohne Nachrechnen ebenfalls sofort f>0 begründen kann, sind damit insbesondere beide errechneten Extrema positiv. Da f entlang der negativen x-Achse aber gegen Null strebt, kann es eben auch kein globales Minimum geben.

>

> > * Ist das eine pfälzische Matheaufgabe? ;-)
> Nein, warum? :D

Sonst wär es ja ein Rechtschreibfehler weiter oben, denn es müsste dann heißen: Unnersuche Sie...

Oder ganz trocken: du hast im Startposting das t in 'Untersuchen Sie' vergesssen und das hat mich zu einem frühmorgendlichen Witz inspiriert...


Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
globale Extrema bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:54 Sa 05.08.2017
Autor: Chilledkroeten


> Wenn f in eine Richtung gegen [mm]\infty[/mm] strebt, ist die Sache
> mit den globalen Maxima gegessen.

Im Umkehrschluss gibt es kein globales Minimum, wenn eine Variable gegen minus Unendlich strebt, richtig? Da sofort ersichtlich, dass y und z gegen unendlich für minus unendlich streben, musste nur noch x untersucht werden, oder?


> Da f entlang der negativen x-Achse aber gegen Null
> strebt, kann es eben auch kein globales Minimum geben.

Sind die Werte links und rechts von meinem lokalen Minimum (- [mm] \bruch{1}{2}/0/0) [/mm] nicht größer als mein lokales Minimum, wodurch aus dem lokalen Minimum ein globales Minimum wird? Ich hab irgendwie Schwierigkeiten mir das Ganze in mehr Dimensionen vorzustellen.

Vielen Dank um voraus!

Bezug
                                        
Bezug
globale Extrema bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:15 Sa 05.08.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> > Wenn f in eine Richtung gegen [mm]\infty[/mm] strebt, ist die Sache
> > mit den globalen Maxima gegessen.
> Im Umkehrschluss gibt es kein globales Minimum, wenn eine
> Variable gegen minus Unendlich strebt, richtig? Da sofort
> ersichtlich, dass y und z gegen unendlich für minus
> unendlich streben, musste nur noch x untersucht werden,
> oder?

Deine Frage ist unglücklich formuliert, aber du meinst wohl das Richtige. Wenn eine Funktion an einer Stelle oder irgendwo am Rand ihres  Definitionsbereichs gegen [mm] -\infty [/mm] strebt, besitzt sie kein globales Minimum.

>

> > Da f entlang der negativen x-Achse aber gegen Null
> > strebt, kann es eben auch kein globales Minimum geben.
> Sind die Werte links und rechts von meinem lokalen Minimum
> (- [mm]\bruch{1}{2}/0/0)[/mm] nicht größer als mein lokales
> Minimum, wodurch aus dem lokalen Minimum ein globales
> Minimum wird?

Kann es sein, dass dir der Begriff eines globalen Extremwerts unklar ist? Ein globales Minimum müsste der kleinste Wert sein, den die Funktion überhaupt annimmt. Da sie wie besprochen für [mm] x\to{-\infty} [/mm] gegen 0 strebt und der Funktionswert an der Stelle (-1/2|0|0) positiv ist (da alle Funktionswerte positiv sind!), kann das hier nicht der Fall sein.

>Ich hab irgendwie Schwierigkeiten mir das

> Ganze in mehr Dimensionen vorzustellen.

Vorstellen kann man sich das hier auch nicht mehr, da das Koordinatensystem vierdimensional wäre. Muss man aber auch nicht, es geht letztendlich nur um Zahlen.


Gruß, Diophant

Bezug
                                                
Bezug
globale Extrema bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:23 Sa 05.08.2017
Autor: Chilledkroeten


> Da sie wie besprochen für [mm]x\to{-\infty}[/mm] gegen 0 strebt und
> der Funktionswert an der Stelle (-1/2|0|0) positiv ist (da
> alle Funktionswerte positiv sind!), kann das hier nicht der
> Fall sein.

Ah danke, jetzt habe ich es verstanden!

Bezug
                                        
Bezug
globale Extrema bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:41 Sa 05.08.2017
Autor: HJKweseleit


> > Wenn f in eine Richtung gegen [mm]\infty[/mm] strebt, ist die Sache
> > mit den globalen Maxima gegessen.
>  Im Umkehrschluss gibt es kein globales Minimum, wenn eine
> Variable gegen minus Unendlich strebt, richtig? Da sofort
> ersichtlich, dass y und z gegen unendlich für minus
> unendlich streben, musste nur noch x untersucht werden,
> oder?

Das ist richtig. Aber es gibt auch andere Fälle, bei denen es kein globales Minimum gibt.

[mm] f(x,y,z)=e^{-(x^2+y^2+z^2)} [/mm] geht z.B. für x [mm] \mapsto \infty [/mm] oder y [mm] \mapsto \infty [/mm] oder z [mm] \mapsto \infty [/mm] gegen 0 und nicht nach [mm] \infty [/mm] oder [mm] -\infty, [/mm] aber alle anderen Funktionswerte sind positiv. Die Funktion hat ein lokales und globales Maximum bei (0|0|0), aber kein (lokales oder globales) Minimum.


>  
>
> > Da f entlang der negativen x-Achse aber gegen Null
> > strebt, kann es eben auch kein globales Minimum geben.
>  Sind die Werte links und rechts von meinem lokalen Minimum
> (- [mm]\bruch{1}{2}/0/0)[/mm] nicht größer als mein lokales
> Minimum, wodurch aus dem lokalen Minimum ein globales
> Minimum wird? Ich hab irgendwie Schwierigkeiten mir das
> Ganze in mehr Dimensionen vorzustellen.

Links und rechts sind hier unangebracht, weil du ja sogar 3 Dimensionen hast. Stell dir vor, du hältst deinen Finger in die Höhe, und genau dort beträgt die Temperatur 40 °C. Überall rundherum in unmittelbarer Nähe ist es aber kälter (warum auch immer). Dann herrscht dort ein lokales Maximum. Wenn es im gesamten betrachteten Raum nirgendwo wärmer ist, ist es ein globales, wenn es z.B. in einer Ecke über dem Herd wärmer ist, nur ein lokales Maximum.


Zur räumlichen Vorstellung: Ein Techniker hört einen Vortrag über den vierdimensionalen Raum. Er ist völlig überfordert und verzweifelt, während ein Mathematiker neben ihm ganz entspannt zuhört. In der Pause fragt er ihn: "Sagen Sie mal, verstehen Sie das alles?" "Ja klar." "Wie machen Sie das?" "Ich stelle mir den n-dimensionalen Raum vor und vereinfache dann auf n=4."

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de