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Verständnis Grenzwert: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:55 Di 09.09.2014
Autor: alinus

Hallo Community,

ich habe ein Verständnisproblem bei der Ermittlung des Grenzwertes einer Funktion.
Ich habe gelesen, dass bei gebrochen-rationalen-Funktionen der Nenner ungleich Null sein muss, damit die Grenzwertsätze für Quotienten angewesent werden können.


1. Beispiel:

[mm] \lim_{x \to \ 0} \bruch{x*(x^2 + 2)}{x} [/mm]

Hier kann der Grenzwert nicht direkt ermittelt werden, weil der Nenner Null wird. Durch kürzen kann der Nenner aber so verändert werden, dass der Nenner ungleich Null wird.

[mm] \lim_{x \to \ 0} x^2 [/mm] + 2 = 2


2. Beispiel:

Habe ich nun folgende Funktion mit Grenzwert:

f(x) = [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm]

[mm] \lim_{x \to \ 0} [/mm] f(x) [mm] =\infty [/mm]

Muss ich den Term hier auch umstellen oder kann ich einfach sagen, dass dieser Term gegen [mm] \infty [/mm] strebt, der Nenner wird ja Null!?
Ich frage mich nun, wann muss ich den Term extra umstellen um den Grenzwert zu errechnen und wann kann ich einfach direkt sagen um welchen Grenzwert es sich handelt?

Ich würde mich freuen, wenn mir hierbei jemand weiterhelfen könnte. :-)

Gruß,
alinus


        
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Verständnis Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:09 Di 09.09.2014
Autor: angela.h.b.

Hallo,

ich antworte "naiv" und erstmal grob:

wenn Du den Typ [mm] "\bruch{0}{0}" [/mm] hast, kannst Du ohne weitere Umformungen nicht entscheiden, was der Grenzwert ist,

beim Typ [mm] "\bruch{1}{0}" [/mm] jedoch ist der Grenzwert [mm] \pm\infty. [/mm]

Letztes müssen wir nun genauer anschauen:


Betrachten wir mal [mm] \lim_{x\to 0}\bruch{1}{x^2}, [/mm] Typ [mm] "\bruch{1}{0}". [/mm]

Wenn sich x der 0 nähert, nähert sich [mm] x^2 [/mm] der 0.
Dabei ist [mm] x^2 [/mm] immer positiv, auch wenn sich das x von unten der 0 annähert.

Wir bekommen: [mm] \lim_{x\to 0}\bruch{1}{x^2}=\infty. [/mm]


Bei [mm] \lim_{x\to 0}\bruch{1}{x^3} [/mm]  ist das anders.
Geht x von oben gegen 0, so geht [mm] x^3 [/mm] von oben gegen 0,
geht x von unten gegen 0, so geht [mm] x^3 [/mm] von unten gegen 0.

Der Grenzwert von rechts ist also [mm] \infty, [/mm] wohingegen der Grenzwert von links [mm] -\infty [/mm] ist.

LG Angela
 

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Verständnis Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:40 Di 09.09.2014
Autor: alinus

Vielen Dank für die schnelle Antwort!

Also kann man generell sagen, dass es bei der Grenzwertbetrachtung kein Problem darstellt, wenn der Nenner Null wird, solange der Zähler ungleich Null ist?


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Verständnis Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:50 Di 09.09.2014
Autor: schachuzipus

Hallo,

> Vielen Dank für die schnelle Antwort!

>

> Also kann man generell sagen, dass es bei der
> Grenzwertbetrachtung kein Problem darstellt, wenn der
> Nenner Null wird, solange der Zähler ungleich Null ist?

Naja, das hängt davon ab, was du unter "Problem" verstehst. ;-)


Wenn der Zähler gegen eine feste Zahl [mm] $\neq [/mm] 0$ konvergiert, ist das Ganze nicht so wild.

Was ist aber, wenn etwa der Zähler gegen [mm] $\infty$ [/mm] oder [mm] $-\infty$ [/mm] divergiert?

Das hängt immer von der konkreten Aufgabe ab ...

Gruß

schachuzipus

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Verständnis Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:56 Di 09.09.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Vielen Dank für die schnelle Antwort!
>  
> Also kann man generell sagen, dass es bei der
> Grenzwertbetrachtung kein Problem darstellt, wenn der
> Nenner Null wird, solange der Zähler ungleich Null ist?

  
sagen wir es so:
Nehmen wir an, Du betrachtest

    [mm] $f(x)/g(x)\,$ [/mm]

bei bspw. $x [mm] \to x_0\,,$ [/mm] und Du weißt $g(x) [mm] \to [/mm] 0$ (im Folgenden immer $x [mm] \to x_0$). [/mm]

Wenn es so ist, dass es ein $p > [mm] 0\,$ [/mm] gibt mit $|f(x)| > [mm] p\,$ [/mm] für alle [mm] $x\,$ [/mm] "genügend
nahe" an [mm] $x_0\,,$ [/mm] dann folgt jedenfalls schonmal

    [mm] $\left|\;\frac{f(x)}{g(x)}\;\right|=\infty\,.$ [/mm]

Bei $x [mm] \to x_0$ [/mm] macht aber dennoch das Vorzeichen ein Problem: Wenn es
so ist, dass "sich beim Zulauf von $x [mm] \to x_0$" [/mm] das Vorzeichen nicht
"festigt" (anders gesagt bedeutet "Vorzeichen festigen", dass der Bruch
für alle [mm] $x\,$, [/mm] die wieder einmal "genügend nahe an [mm] $x_0$" [/mm]  sein sollen [hier
kann das aber etwas anderes bedeuten wie oben] stets das Vorzeichen behält),
dann haben wir keine bestimmte Divergenz vorliegen. *Festigt* es
sich, dann ist [mm] $f(x)/g(x)\,$ [/mm] bestimmt divergent gegen [mm] $-\infty$ [/mm] oder [mm] $+\infty$ [/mm] - was
hier dann der Fall ist, entscheidet das *gefestigte Vorzeichen* beim Zulauf
$x [mm] \to x_0\,.$ [/mm]

Beispiele:

    [mm] $\bullet$ $\frac{0,5+1/x}{\sin(x)} \to +\infty$ [/mm] bei $x [mm] \to 0\,.$ [/mm]

    [mm] $\bullet$ $\frac{1}{\sin(x)}$ [/mm] divergiert unbestimmt bei $x [mm] \to 0\,.$ [/mm]

    [mm] $\bullet$ $\frac{1/(x-1)}{\sin(x-1)} \to \infty$ [/mm] bei $x [mm] \to \red{1}\,.$ [/mm]

    [mm] $\bullet$ $\frac{-1}{|\sin(x)|} \to -\infty$ [/mm] bei $x [mm] \to 0\,.$ [/mm]

    [mm] $\bullet$ $\sin(1/x)/(x*\sin(1/x^2))$ [/mm] ist (für einen Schüler) vielleicht *arg fies* bei $x [mm] \to 0\,,$ [/mm]
                       vielleicht kannst Du Dir ja "die Zählerfunktion"
                       und die "Nennerfunktion" aber in einem
                       gemeinsamen Plot dennoch mal plotten...

Nebenbei: Für

    $f(x)/g(x)$ mit $f(x) [mm] \to [/mm] 0$ und $g(x) [mm] \to [/mm] 0$ (wie gesagt: bei $x [mm] \to x_0$) [/mm]

gibt's oft auch die Möglichkeit, die Regel von de l'Hôpital anzuwenden. Nur,
falls das schon bekannt ist. Ansonsten muss man *tricksen* oder
*abschätzen* oder *mit Tricks abschätzen* - es wird jedenfalls i.a. nicht
leicht sein und man muss erstmal einiges an *Tricks* kennengelernt haben,
und auch gesehen haben, wie sie einem helfen können...

Gruß,
  Marcel    

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Verständnis Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:07 Di 09.09.2014
Autor: alinus

Ich muss jetzt nochmal ganz blöd nachfragen, wie ich beim Lösen der Aufgaben vorgehen soll.

Bei deinem ersten Beispiel:

[mm] \limes_{x \to 0} \frac{0,5+1/x}{\sin(x)} [/mm] = [mm] +\infty [/mm]

gehe ich so vor, dass ich zuerst [mm] \bruch{1}{x} [/mm] untersuche und gucke wie sich der Term verhält, wenn ich x gegen 0 laufen lasse. [mm] \limes_{x \to 0} \bruch{1}{x} [/mm] = [mm] \infty [/mm] ist mein Ergebnis.
Wenn ich nun sin(x) untersuche, dann erhalte ich als Ergebnis [mm] \limes_{x \to 0} [/mm] sin(x) = 0
Dadurch ehalte ich doch folgendes: [mm] \bruch{\infty}{0} [/mm] und das wäre doch ein ungültier Term oder nicht?

Oder wie erhalte ich dein Ergebnis?

Bezug
                                        
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Verständnis Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:20 Di 09.09.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Ich muss jetzt nochmal ganz blöd nachfragen, wie ich beim
> Lösen der Aufgaben vorgehen soll.
>  
> Bei deinem ersten Beispiel:
>  
> [mm]\limes_{x \to 0} \frac{0,5+1/x}{\sin(x)}[/mm] = [mm]+\infty[/mm]
>  
> gehe ich so vor, dass ich zuerst [mm]\bruch{1}{x}[/mm] untersuche
> und gucke wie sich der Term verhält, wenn ich x gegen 0
> laufen lasse. [mm]\limes_{x \to 0} \bruch{1}{x}[/mm] = [mm]\infty[/mm] ist
> mein Ergebnis.

das stimmt so leider nicht ganz. Unterscheide die Fälle

    $0 < x [mm] \to [/mm] 0$

und

    $0 > x [mm] \to 0\,.$ [/mm]

>  Wenn ich nun sin(x) untersuche, dann erhalte ich als
> Ergebnis [mm]\limes_{x \to 0}[/mm] sin(x) = 0

Ja. Aber auch hier ist im Bruch oben etwas beachtenswert, nämlich:
Was ist mit [mm] $\sin(x)$ [/mm] bei

    $0 < [mm] x\,$ $\to$ $0\,$ [/mm]

und

    $0 > [mm] x\,$ $\to$ $0\,.$ [/mm]

Die Frage bezieht sich auf das "Vorzeichenverhalten" von [mm] $\sin(x)\,.$ [/mm]

>  Dadurch ehalte ich doch folgendes: [mm]\bruch{\infty}{0}[/mm]

Sowas in der Art wird tatsächlich am Ende dastehen. Aber Deine Begründung
ist nicht ganz dingfest!

> und das wäre doch ein ungültier Term oder nicht?
>  
> Oder wie erhalte ich dein Ergebnis?

Ich frage jetzt extra mal anders: Habt ihr schon Folgen behandelt? (Wenn
ihr Funktionsgrenzwerte behandelt, macht ihr das indirekt auch - aber mir
geht's darum, zu wissen, ob ihr das Thema separat behandelt habt).

Falls ja:
Wie würdest Du dann etwa mit

    [mm] $\lim_{\IN \ni n \to \infty} \frac{e^n}{1/n}$ [/mm]

umgehen, so rein argumentationsmäßig?
(Der Zähler von [mm] $e^n/(1/n)$ [/mm] geht gegen [mm] $\infty$ [/mm] und ist stets $> [mm] 0\,,$ [/mm] insbesondere auch etwa
durchweg $> [mm] 1\,,$ [/mm] der Nenner ist auch stets positiv und strebt gegen [mm] $0\,,$ [/mm] also...).

Wenn Du obige Aufgabe präzise mathematisch lösen willst:
Zeige: Für jedes $M > [mm] 0\,$ [/mm] gibt es ein [mm] $\delta [/mm] > 0$ so, dass für alle [mm] $x\,$ [/mm] mit
$|x-0| < [mm] \delta$ [/mm] schon

    [mm] $\frac{0,5+1/x}{\sin(x)} \ge [/mm] M$

gilt.

Aber ich weiß nicht, ob ihr in der Schule schon so streng per Definitionem
arbeitet...

Gruß,
  Marcel

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Verständnis Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:47 Mi 10.09.2014
Autor: alinus

Danke für deine ausführlichen Antworten.
Weil der Begriff Schule so oft fällt, hier eine kleine Klarstellung, ich bin schon Student, die Antworten können aber gerne so einfach formuliert bleiben :-)

So "streng nach Definition", wie du es beschrieben hast gehen wir nicht vor.

Nochmal zum Beispiel:

1. Fall  0 < x [mm] \to [/mm] 0

[mm] \bruch{1}{x} \to \infty [/mm]

sin(x) [mm] \to [/mm] 0

[mm] \limes_{x \to 0} \frac{0,5+1/x}{\sin(x)} [/mm] = [mm] \bruch{\infty}{0} [/mm]

2. Fall  0 > x [mm] \to [/mm] 0

[mm] \bruch{1}{x} \to -\infty [/mm]

sin(x) [mm] \to [/mm] 0

[mm] \limes_{x \to 0} \frac{0,5+1/x}{\sin(x)} [/mm] = [mm] \bruch{-\infty}{0} [/mm]

Wie komme ich nun auf dein Ergebnis von [mm] +\infty [/mm] ?

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Bezug
Verständnis Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:01 Mi 10.09.2014
Autor: fred97


> Danke für deine ausführlichen Antworten.
>  Weil der Begriff Schule so oft fällt, hier eine kleine
> Klarstellung, ich bin schon Student, die Antworten können
> aber gerne so einfach formuliert bleiben :-)
>  
> So "streng nach Definition", wie du es beschrieben hast
> gehen wir nicht vor.
>  
> Nochmal zum Beispiel:
>  
> 1. Fall  0 < x [mm]\to[/mm] 0
>
> [mm]\bruch{1}{x} \to \infty[/mm]
>  
> sin(x) [mm]\to[/mm] 0
>  
> [mm]\limes_{x \to 0} \frac{0,5+1/x}{\sin(x)}[/mm] =
> [mm]\bruch{\infty}{0}[/mm]
>  
> 2. Fall  0 > x [mm]\to[/mm] 0
>
> [mm]\bruch{1}{x} \to -\infty[/mm]
>  
> sin(x) [mm]\to[/mm] 0
>  
> [mm]\limes_{x \to 0} \frac{0,5+1/x}{\sin(x)}[/mm] =
> [mm]\bruch{-\infty}{0}[/mm]
>  
> Wie komme ich nun auf dein Ergebnis von [mm]+\infty[/mm] ?

Für x<0 aber "nahe" bei 0 ist der Zähler $0,5+1/x < 0$ und ebenso ist der Nenner [mm] $\sin(x) [/mm] <0$.

Dann ist der Bruch [mm] \frac{0,5+1/x}{\sin(x)} [/mm] was ?

FRED

FRED


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Bezug
Verständnis Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:08 Mi 10.09.2014
Autor: Marcel

Hallo,

Fred hat ja schon was gesagt, ich mach's jetzt mal ein wenig "symbolisch":

> Danke für deine ausführlichen Antworten.
>  Weil der Begriff Schule so oft fällt, hier eine kleine
> Klarstellung, ich bin schon Student, die Antworten können
> aber gerne so einfach formuliert bleiben :-)
>  
> So "streng nach Definition", wie du es beschrieben hast
> gehen wir nicht vor.
>  
> Nochmal zum Beispiel:
>  
> 1. Fall  0 < x [mm]\to[/mm] 0
>
> [mm]\bruch{1}{x} \to \infty[/mm]

[ok]

> sin(x) [mm]\to[/mm] 0

Ich schreibe jetzt mal "+0". Du wirst gleich sehen, wieso!

> [mm]\limes_{x \to 0} \frac{0,5+1/x}{\sin(x)}[/mm] = [mm]\bruch{\infty}{0}[/mm]

Hier schreiben wir mal

    [mm] $\limes_{\red{0 <\,}x \to 0} \frac{0,5+1/x}{\sin(x)}=\frac{+\infty}{+0}=\infty\,.$ [/mm]

Natürlich ist die mittlere Gleichheit eher "symbolischer Natur".

> 2. Fall  0 > x [mm]\to[/mm] 0
>
> [mm]\bruch{1}{x} \to -\infty[/mm]

[ok]
  

> sin(x) [mm]\to[/mm] 0

Hier schreiben wir aber "-0"!
  

> [mm]\limes_{x \to 0} \frac{0,5+1/x}{\sin(x)}[/mm] = [mm]\bruch{-\infty}{0}[/mm]

Nein:

    [mm] $\limes_{\red{0 >\,}x \to 0} \frac{0,5+1/x}{\sin(x)}=\frac{-\infty}{-0}=\infty\,.$ [/mm]
  

> Wie komme ich nun auf dein Ergebnis von [mm]+\infty[/mm] ?

S.o.!

Gruß,
  Marcel

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Bezug
Verständnis Grenzwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:38 Mi 10.09.2014
Autor: alinus

Ah, ok. Also muss ich gedanklich immer den Bereich nahe des Grenzwertes betrachten. Ich bearbeite jetzt einfach mal ein paar Übungsaufgaben, dann sehe ich ja, ob ich es richtig verstanden habe. Danke nochmals für die Erklärungen :-)

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Bezug
Verständnis Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:15 Di 09.09.2014
Autor: Ladon

Hallo,

falls du Grenzwerte der Form [mm] "\frac{0}{0}" [/mm] bzw. [mm] "\frac{\infty}{\infty} [/mm] " hast, so ist die Regel von l'Hospital ein machtvolles Instrument, wie mein Vorredner bemerkte. Sie sollte zwar im Grundkurs nicht unbedingt abiturrelevant sein, doch ich kann mich noch erinnern, dass in meiner Schulzeit l'Hospital im LK thematisiert wurde. Die Aussage ist jedenfalls recht einfach.
Du hast eine Funktion [mm] f(x)=\frac{u(x)}{v(x)} [/mm] und bestimmst [mm] \lim_{x\to x_0}\frac{u(x)}{v(x)}. [/mm]
Gilt entweder [mm] u(x)\to0 [/mm] bei [mm] x\to x_0 [/mm] und [mm] v(x)\to0 [/mm] bei [mm] x\to x_0, [/mm] oder [mm] u(x)\to\infty [/mm] bei [mm] x\to x_0 [/mm] und [mm] v(x)\to\infty [/mm] bei [mm] x\to x_0 [/mm] und ist außerdem [mm] v'(x_0)\neq0 [/mm] und der [mm] \lim_{x\to x_0}\frac{u'(x)}{v'(x)} [/mm] existiert.
Dann ist
[mm] \lim_{x\to x_0}\frac{u(x)}{v(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{u'(x)}{v'(x)}. [/mm]
In einer erweiterten Version gilt das Ganze auch für [mm] x\to\pm\infty. [/mm] Ist das Ergebnis des Grenzwertes hierbei auch [mm] "\frac{\infty}{\infty}" [/mm] oder [mm] "\frac{0}{0}" [/mm] und [mm] v'(x)\neq0. [/mm]
Dann gilt
[mm] \lim_{x\to\infty}\frac{u(x)}{v(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{u'(x)}{v'(x)} [/mm] bzw. [mm] \lim_{x\to-\infty}\frac{u(x)}{v(x)}=\lim_{x\to-\infty}\frac{u'(x)}{v'(x)} [/mm]

Beispiel:
[mm] f(x)=\frac{ln(x)}{x}. [/mm] Bestimme [mm] x\to\infty. [/mm]
Es gilt u(x)=ln(x) und v(x)=x gehen gegen [mm] \infty [/mm] bei [mm] x\to\infty [/mm] und [mm] v'(x)=1\neq0. [/mm] Also haben wir so etwas wie [mm] "\frac{\infty}{\infty}" [/mm] und wenden l'Hospital an mit [mm] u'(x)=\frac{1}{x} [/mm] und v'(x)=1:
[mm] \lim_{x\to\infty}\frac{ln(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x}}{1}=\lim_{x\to\infty}{\frac{1}{x}}=0. [/mm]


Auch eine gute Hilfe bei Polynomen im Zähler und Nenner ist Kürzen:
z.B.: [mm] g(x)=\frac{x^3-5x^2+100. 000x}{x^4+x^2} [/mm] bei [mm] x\to\infty [/mm] bestimmen.
[mm] $\lim_{x\to\infty}{\frac{x^3-5x^2+100. 000x}{x^4+x^2}}= [/mm]
[mm] \lim_{x\to\infty}{\frac{x^4(1/x-\frac{5}{x^2}+\frac{100. 000}{x^3})}{x^4(1+\frac{1}{x^2})}}= [/mm]
[mm] \lim_{x\to\infty}{\frac{1/x-\frac{5}{x^2}+\frac{100. 000}{x^3}}{1+\frac{1}{x^2}}}=\frac{0}{1}=0$ [/mm]
Die höchste Potenz gewinnt ;-)

MfG
Ladon

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Verständnis Grenzwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:03 Di 09.09.2014
Autor: Marcel

Hallo Ladon,

> Hallo,
>  
> falls du Grenzwerte der Form [mm]"\frac{0}{0}"[/mm] bzw.
> [mm]"\frac{\infty}{\infty}[/mm] " hast, so ist die Regel von
> l'Hospital ein machtvolles Instrument, wie mein Vorredner
> bemerkte. Sie sollte zwar im Grundkurs nicht unbedingt
> abiturrelevant sein, doch ich kann mich noch erinnern, dass
> in meiner Schulzeit l'Hospital im LK thematisiert wurde.
> Die Aussage ist jedenfalls recht einfach.
>  Du hast eine Funktion [mm]f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}[/mm] und bestimmst
> [mm]\lim_{x\to x_0}\frac{u(x)}{v(x)}.[/mm]
> Gilt entweder [mm]u(x)\to0[/mm] bei [mm]x\to x_0[/mm] und [mm]v(x)\to0[/mm] bei [mm]x\to x_0,[/mm]
> oder [mm]u(x)\to\infty[/mm] bei [mm]x\to x_0[/mm] und [mm]v(x)\to\infty[/mm] bei [mm]x\to x_0[/mm]
> und ist außerdem [mm]v'(x_0)\neq0[/mm]

wozu erwähnst Du [mm] $v'(x_0) \neq [/mm] 0$? Das braucht man nicht:

    []http://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_L%E2%80%99Hospital#Pr.C3.A4zise_Formulierung

Es ist nicht falsch, was Du sagst, aber Du formulierst eine unnötige
Einschränkung! (Was man sagen sollte, ist, dass bei Dir [mm] $v\,'(x) \neq [/mm] 0$ für alle
[mm] $x\,$ [/mm] in einer genügend kleinen Umgebung von [mm] $x_0$ [/mm] gelten muss. Ist etwa
[mm] $v\,'$ [/mm] stetig in [mm] $x_0\,,$ [/mm] so folgt das natürlich aus [mm] $v\,'(x_0) \neq 0\,.$ [/mm] Und so gesehen
muss ich dann doch leider sagen: In Deiner Formulierung des Satzes ist
dieser so nicht korrekt, es fehlt ja eine wesentliche Voraussetzung!)

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                        
Bezug
Verständnis Grenzwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:30 Mi 10.09.2014
Autor: Ladon

Hallo Marcel,

dein Hinweis ist natürlich gerechtfertigt. In der Schule wird m.W. Stetigkeit kaum ernsthaft thematisiert. Ich bin daher von den meist stetigen Funktionen ausgegangen, die man in der Schule vorliegen hat. Normalerweise hätte ich den Satz von l'Hospital folgendermaßen formuliert:

Satz von l'Hospital: Seien [mm] f,g:[a,b]\to\IR [/mm] differenzierbar und [mm] g'(x)\neq0 [/mm] auf $]a,b[$. Gilt entweder [mm] f(x)\to0 [/mm] und [mm] g(x)\to0 [/mm] bei [mm] $x\downarrow [/mm] a$ oder [mm] f(x)\to\infty [/mm] and [mm] g(x)\to\infty [/mm] bei [mm] $x\downarrow [/mm] a$, dann gilt:
Existiert [mm] \lim_{x\downarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}, [/mm] dann existiert auch [mm] \lim_{x\downarrow a}\frac{f(x)}{g(x)} [/mm] und beide sind gleich.
Analoges gilt für [mm] $x\uparrow [/mm] b$ und im Fall [mm] a=-\infty [/mm] bzw. [mm] b=\infty [/mm] und für [mm] \lim{x\to x_0}, [/mm] falls existent.


Allerdings hielt ich es für besser den Satz zu modifizieren, damit er verständlicher wirkt und den in der Schule diskutierten Funktionen angepasst ist. Ich habe z.B. in Nachhilfestunden erfahren können, dass Schüler weniger Probleme mit Verfahren haben, bei denen man einfach einsetzt (z.B. Hinreichendes Kriterium über die 2. Ableitung), als mit Verfahren, bei denen Umgebungen und Intervalle zu betrachten sind (z.B. Hinreichendes Kriterium über das Vorzeichenwechselkriterium). Du hast jedoch Recht, dass ich die korrekte Formulierung nicht hätte verschweigen dürfen.

MfG
Ladon

Bezug
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