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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Satz ü. stetig diff. Funktion
Satz ü. stetig diff. Funktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Satz ü. stetig diff. Funktion: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 17:04 Mo 04.12.2017
Autor: X3nion

Hallo zusammen!

Mir ist das ein oder andere bei folgendem Satz nicht klar:

Satz Sei U [mm] \subset \IR^{n} [/mm] offen und f: U [mm] \to \IR [/mm] eine k-mal stetig differenzierbare Funktion. Sei x [mm] \in [/mm] U und [mm] \xi \in \IR^{n} [/mm] ein Vektor derart, dass die Strecke x + [mm] t\xi, [/mm] 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 1, ganz in U liegt. Dann ist die Funktion

g: [0,1] [mm] \to \IR, [/mm] g(t) := f( x + [mm] t\xi), [/mm]

k-mal stetig differenzierbar und es gilt

[mm] \frac{d^{k}(g)}{dt^{k}}(t) [/mm] = [mm] \summe_{|\alpha| = k} [/mm] = [mm] \frac{k!}{\alpha!} (D^{\alpha}f)(x+t\xi)\xi^{\alpha}, [/mm]

wobei folgende Bezeichnungen eingeführt werden:

Für ein n-tupel [mm] \alpha [/mm] = [mm] (\alpha_{1}, [/mm] ..., [mm] \alpha_{n}) \in \IN^{n} [/mm] sei

[mm] |\alpha| [/mm] := [mm] \a_{1} [/mm] + [mm] a_{2} [/mm] + ... + [mm] a_{n}, [/mm]
[mm] \alpha| [/mm] := [mm] \alpha_{1}|\alpha_{2}|\cdot{}...\cdot{}\alpha_{n}. [/mm]

Ist f eine [mm] |\alpha|-mal [/mm] stetig differenzierbare Funktion, so setzt man

[mm] D^{\alpha}f [/mm] := [mm] D_{1}^{\alpha_{1}}D_{2}^{\alpha_{2}}...D_{n}^{\alpha_{n}} [/mm] f = [mm] \frac{\partial^{|\alpha|}f}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}}\partial x_{2}^{\alpha_{2}}...\partial x_{n}^{\alpha_{n}}} [/mm]

wobei [mm] D_{i}^{\alpha_{i}} [/mm] = [mm] \underbrace{D_{i}D_{i}...D_{i}}_{=\alpha_{i} mal}. [/mm]

Für x [mm] (x_{1}, [/mm] ..., [mm] x_{n}) \in \IR^{n} [/mm] sei

[mm] x^{\alpha} [/mm] := [mm] x_{1}^{\alpha_{1}}x_{2}^{\alpha_{2}}\cdot{}...\cdot{}x_{n}^{\alpha_{n}} [/mm]


Beweis
Hier schreibe ich zunächst Teil a) auf und wenn ich es verstanden habe Teil b)

a) Es wird zunächst durch Induktion über k gezeigt, dass

[mm] \frac{d^{k}(g)}{dt^{k}}(t) [/mm] = [mm] \summe_{i_{1},...,i_{k}=1}^{n} D_{i_{k}}...D_{i_{1}} [/mm] f(x + [mm] t\xi)\xi_{i_{1}}...\xi_{i_{k}}. [/mm]

Für k = 1 ergibt sich aus der Kettenregel

[mm] \frac{dg}{dt}(t) [/mm] = [mm] \frac{d}{dt} f(x_{1} [/mm] + [mm] t\xi_{1}, [/mm] ..., [mm] x_{n} [/mm] + [mm] t\xi_{n}) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}D_{i}f(x [/mm] + [mm] t\xi)\xi_{i} [/mm]

Induktionsschritt k-1 [mm] \to [/mm] k

[mm] \frac{d^{k}(g)}{dt^{k}}(t) [/mm] = [mm] \frac{d}{dt} \left( \summe_{i_{1},...,i_{k-1}=1}^{n} D_{i_{k-1}}...D_{i_{1}} f(x + t\xi)\xi_{i_{1}}...\xi_{i_{k-1}}\right) [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{n}D_{j} \left( \summe_{i_{1},...,i_{k-1}=1}^{n} D_{i_{k-1}}...D_{i_{1}} f(x + t\xi)\xi_{i_{1}}...\xi_{i_{k-1}} \right) \xi_{j} [/mm]
= [mm] \summe_{i_{1},...,i_{k}=1}^{n} D_{i_{k}}...D_{i_{1}} [/mm] f(x + [mm] t\xi)\xi_{i_{1}}...\xi_{i_{k}} [/mm]

---------

Nun zu meiner Frage:

Wieso gilt die Gleichheit (*)  [mm] \frac{d}{dt} \left( \summe_{i_{1},...,i_{k-1}=1}^{n} D_{i_{k-1}}...D_{i_{1}} f(x + t\xi)\xi_{i_{1}}...\xi_{i_{k-1}}\right) [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{n}D_{j} \left( \summe_{i_{1},...,i_{k-1}=1}^{n} D_{i_{k-1}}...D_{i_{1}} f(x + t\xi)\xi_{i_{1}}...\xi_{i_{k-1}} \right) \xi_{j} [/mm] ?

Wird hier das Corollar zur Kettenregel benutzt? Dieses lautet im Forster: Seien U [mm] \subset \IR^{n} [/mm] und V [mm] \subset \IR^{m} [/mm] offene Mengen, f: V [mm] \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] f(x) eine differenziarbare Funktion sowie

[mm] \phi [/mm] = [mm] \vektor{\phi_{1}\\ \phi_{2}\\ . \\ . \\ \phi_{n}} [/mm] : U [mm] \to \IR^{m}, [/mm] t [mm] \mapsto [/mm] x = [mm] \phi(t), [/mm]

eine differenzierbare Abbildung mit [mm] \phi(U) \subset [/mm] V. Dann ist die Funktion

F := f [mm] \circ \phi [/mm] : U [mm] \to \IR, [/mm] t [mm] \mapsto f(\phi(t)) [/mm]

partiell differenzierbar und es gilt für i = 1, ..., n

[mm] \frac{\partial F}{\partial t_{i}} (t_{1}, [/mm] ..., [mm] t_{n}) [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{m} \frac{\partial f}{\partial x_{j}} (\phi_{1}(t), [/mm] ..., [mm] \phi_{m}(t)) \frac{\partial \phi_{j}}{\partial t_{i}}(t_{1}, [/mm] ..., [mm] t_{n}). [/mm]

Mit t [mm] \in \IR [/mm] reduziert sich diese Formel ja auf:

[mm] \frac{\partial F}{\partial t} [/mm] (t) = [mm] \summe_{j=1}^{m} \frac{\partial f}{\partial x_{j}} (\phi(t)) \frac{\partial \phi_{j}}{\partial t}(t). [/mm]

Würde man auf obige Gleichung (*) die Kettenregel anwenden, dann müsste ja die Funktion [mm] f(\phi(t)) [/mm] die komplette Summe [mm] \summe_{i_{1},...,i_{k-1}=1}^{n} D_{i_{k-1}}...D_{i_{1}} [/mm] f(x + [mm] t\xi)\xi_{i_{1}}...\xi_{i_{k-1}} [/mm] sein.
Ist dies der Fall? Und [mm] \frac{\partial \phi_{j}}{\partial t}(t) [/mm] = [mm] \xi_{j} [/mm] ?



Ich wäre euch sehr dankbar für euren Rat!

Viele Grüße,
X3nion

        
Bezug
Satz ü. stetig diff. Funktion: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:20 Fr 08.12.2017
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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