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Forum "Folgen und Reihen" - Monotonie einer Folge
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Monotonie einer Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:35 Do 28.08.2014
Autor: geigenzaehler

Aufgabe
Untersuche die Folge
[mm] $x_{n}=\summe_{i=n}^{2n} [/mm] 1/i  $
auf Monotonie.

Der Ansatz wäre

[mm] $x_{n+1} [/mm] - [mm] x_{n}$ [/mm]

ist dies z B <0, so ist die Folge streng monoton fallend.

[mm] \summe_{i=n+1}^{2(n+1)}1/i [/mm] - [mm] \summe_{i=n}^{2n}1/i [/mm]

Wie kann ich das weiter umformen?

Ist z B

[mm] \summe_{i=n+1}^{2(n+1)}1/i [/mm] = [mm] \summe_{i=n}^{2n}1/i [/mm]  + [mm] \bruch{1}{2(n+1)} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2(n+2)} [/mm]   ?


Ich komme mit den ganzen Indizes und (Partial)Summen nicht klar.

Wie geht man da am besten ran?

        
Bezug
Monotonie einer Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:12 Do 28.08.2014
Autor: abakus


> Untersuche die Folge
> [mm]x_{n}=\summe_{i=n}^{2n} 1/i [/mm]
> auf Monotonie.
> Der Ansatz wäre

>

> [mm]x_{n+1} - x_{n}[/mm]

>

> ist dies z B <0, so ist die Folge streng monoton fallend.

>

> [mm]\summe_{i=n+1}^{2(n+1)}1/i[/mm] - [mm]\summe_{i=n}^{2n}1/i[/mm]

>

> Wie kann ich das weiter umformen?

>

> Ist z B

>

> [mm]\summe_{i=n+1}^{2(n+1)}1/i[/mm] = [mm]\summe_{i=n}^{2n}1/i[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{2(n+1)}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2(n+2)}[/mm] ?

Ja.
Und [mm]\summe_{i=n}^{2n}1/i[/mm] kannst du durch Abtrennen des ersten Summanden als [mm]1/n+\summe_{i=n+1}^{2n}1/i[/mm] schreiben.
Gruß Abakus
>
>

> Ich komme mit den ganzen Indizes und (Partial)Summen nicht
> klar.

>

> Wie geht man da am besten ran?

Bezug
                
Bezug
Monotonie einer Folge: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 22:29 Do 28.08.2014
Autor: Marcel

Hallo Abakus,

> > Untersuche die Folge
>  > [mm]x_{n}=\summe_{i=n}^{2n} 1/i[/mm]

>  > auf Monotonie.

>  > Der Ansatz wäre

>  >
>  > [mm]x_{n+1} - x_{n}[/mm]

>  >
>  > ist dies z B <0, so ist die Folge streng monoton

> fallend.
>  >
>  > [mm]\summe_{i=n+1}^{2(n+1)}1/i[/mm] - [mm]\summe_{i=n}^{2n}1/i[/mm]

>  >
>  > Wie kann ich das weiter umformen?

>  >
>  > Ist z B

>  >
>  > [mm]\summe_{i=n+1}^{2(n+1)}1/i[/mm] = [mm]\summe_{i=n}^{2n}1/i[/mm] +

>  > [mm]\bruch{1}{2(n+1)}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2(n+2)}[/mm] ?

>  Ja.

nein. Linkerhand startet er bei [mm] $i=n+1\,,$ [/mm] rechterhand aber bei [mm] $i=n\,.$ [/mm] Rechts
steht so also der Summand [mm] $1/n\,$ [/mm] einmal zu oft da!

Außerdem sollte anstatt

    [mm] $\frac{1}{2(n+1)}+\frac{1}{2(n+2)}$ [/mm]

dort auch

    [mm] $\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}$ [/mm]

stehen!

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
Monotonie einer Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:27 Do 28.08.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Untersuche die Folge
> [mm]x_{n}=\summe_{i=n}^{2n} 1/i [/mm]
>  auf Monotonie.
>  Der Ansatz wäre
>  
> [mm]x_{n+1} - x_{n}[/mm]
>  
> ist dies z B <0, so ist die Folge streng monoton fallend.
>  
> [mm]\summe_{i=n+1}^{2(n+1)}1/i[/mm] - [mm]\summe_{i=n}^{2n}1/i[/mm]
>
> Wie kann ich das weiter umformen?
>  
> Ist z B
>  
> [mm]\summe_{i=n+1}^{2(n+1)}1/i[/mm] = [mm]\summe_{i=n}^{2n}1/i[/mm]  + [mm]\bruch{1}{2(n+1)}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2(n+2)}[/mm]   ?

nein, da sind Dir mehrere Fehler unterlaufen:

    [mm] $\summe_{i=n+1}^{2(n+1)}1/i=\red{-\;\frac{1}{n}}+\sum_{i=\red{n}}^{2n}\frac{1}{i}+\red{\frac{1}{2n+1}}+\red{\frac{1}{2n+2}}$ [/mm]

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
Monotonie einer Folge: zur Monotonie
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:44 Do 28.08.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Untersuche die Folge
> [mm]x_{n}=\summe_{i=n}^{2n} 1/i [/mm]
>  auf Monotonie.
>  Der Ansatz wäre
>  
> [mm]x_{n+1} - x_{n}[/mm]
>  
> ist dies z B <0, so ist die Folge streng monoton fallend.
>  
> [mm]\summe_{i=n+1}^{2(n+1)}1/i[/mm] - [mm]\summe_{i=n}^{2n}1/i[/mm]
>
> Wie kann ich das weiter umformen?
>  
> Ist z B
>  
> [mm]\summe_{i=n+1}^{2(n+1)}1/i[/mm] = [mm]\summe_{i=n}^{2n}1/i[/mm]  +  [mm]\bruch{1}{2(n+1)}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2(n+2)}[/mm]   ?

ich verstehe nie, warum, wenn sich jemand bei einer Umformung mit dem
Summen- oder Produktzeichen nicht sicher ist(!), man nicht einfach mal mit
einem (einfachen) Zahlenbeispiel den Sinngehalt seiner Umformung prüft.

Nehmen wir mal [mm] $n=2\,:$ [/mm]
Linke Seite bei Deiner behaupteten Gleichung ergibt:

    [mm] $\sum_{i=3}^{2*3} \frac{1}{i}=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}$ [/mm]

Rechte Seite:

    [mm] $\sum_{i=\red{2}}^{4}\frac{1}{i}+\frac{1}{2*3}+\frac{1}{2*4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}$ [/mm]

Sieht das identisch aus???

Also zurück zur Aufgabe:

    [mm] $\sum_{i=n+1}^{2(n+1)}\frac{1}{i}-\sum_{i=n}^{2n}\frac{1}{i}=\sum_{i=n+1}^{2n+2}\frac{1}{i}-\sum_{i=n}^{2n}\frac{1}{i}=(\sum_{i=n+1}^{2n} \tfrac{1}{i}\;+\tfrac{1}{2n+1}+\tfrac{1}{2n+2})-(\tfrac{1}{n}\;+\sum_{i=n+1}^{2n}\tfrac{1}{i})$ [/mm]

Um's noch deutlicher zu machen: Mit [mm] $S:=\sum_{i=n+1}^{2n} \tfrac{1}{n}$ [/mm] steht dort

    [mm] $...=(S+\tfrac{1}{2n+1}+\tfrac{1}{2n+2})-(\tfrac{1}{n}+S)\,.$ [/mm]

Du siehst also (hoffentlich?), dass Du Dich nur noch fragen musst: Gilt für
(alle relevanten!) [mm] $n\,$ [/mm] eine Beziehung

    [mm] $\frac{1}{2n+2}+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{n} \text{ \red{?} }$ $0\,$ [/mm]

mit einem (festen) [mm] $\text{\red{?}} \in \{<,\;\le,\;>,\;\ge\}$? [/mm]

P.S. "Eins" bedeutet hier, wie meist in der Mathematik, "mindestens eins"!

P.P.S.

    [mm] $\frac{1}{2n+2}+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{n}=\frac{n(2n+1)+n(2n+2)-(2n+1)(2n+2)}{n(2n+1)(2n+2)}$ [/mm]

Der Nenner ist hier sicher stets $> [mm] 0\,$ [/mm] für $n [mm] \in \IN\,,$ [/mm] das Vorzeichen des
Bruches wird also nur durch das Vorzeichen des Zählers bestimmt. Rechne
den mal weiter aus und denke drüber nach, welches Vorzeichen er hat!

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
Monotonie einer Folge: DAnke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:41 Mi 03.09.2014
Autor: geigenzaehler

...für d Antworten!

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