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Forum "komplexe Zahlen" - Lösung der Gleichung
Lösung der Gleichung < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Lösung der Gleichung: Rückfrage, Idee, Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:13 So 15.01.2017
Autor: Dom_89

Aufgabe
Bestimme alle z [mm] \in \IC, [/mm] für die

[mm] z^{3} [/mm] = 8i

gilt und gebe für die Lösung jeweils Real- und Imaginärteil an

Hallo,

ich möchte hier einmal mein Vorgehen vorstellen!

[mm] z^{3} [/mm] = 8i

Zur Lösung der Aufgabe habe ich die "Moivre-Formel" verwendet:

$ [mm] \wurzel[n]{z} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[n]{r}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)+\sin\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)\cdot{}i\right]\quad \text{mit}\quad [/mm] k \ = \ 0 \ ... \ (n-1) $

mit $ z \ = \ [mm] x+i\cdot{}y [/mm] $, $ |z|\ =\ r \ = \ [mm] \wurzel{x^2+y^2} [/mm] $ sowie $ [mm] \tan(\varphi) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y}{x} [/mm] $

--------------------------

$ |z|\ =\ r \ = \ [mm] \wurzel{x^2+y^2} [/mm] $ = [mm] \wurzel[3]{0^2+8^2} [/mm] = 4

$ [mm] \tan(\varphi) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y}{x} [/mm] $ = [mm] \tan(\varphi) [/mm] = [mm] \bruch{8}{0} [/mm] = 0

[mm] \varphi=\arctan(0)= [/mm] 0

$ [mm] \wurzel[n]{z} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[n]{r}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)+\sin\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)\cdot{}i\right]\quad \text{mit}\quad [/mm] k \ = \ 0 \ ... \ (n-1) $

Ich komme dann auf folgende Ergebnisse:

[mm] z_{1} [/mm] = [mm] \wurzel[3]{4} [/mm]

[mm] z_{2} [/mm] = [mm] \wurzel[3]{4}(-\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}i) [/mm]

[mm] z_{3} [/mm] = [mm] \wurzel[3]{4}(-\bruch{1}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2}i) [/mm]

Stimmt das so?

Vielen Dank! :)

        
Bezug
Lösung der Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:38 So 15.01.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Bestimme alle z [mm]\in \IC,[/mm] für die

>

> [mm]z^{3}[/mm] = 8i

>

> gilt und gebe für die Lösung jeweils Real- und
> Imaginärteil an
> Hallo,

>

> ich möchte hier einmal mein Vorgehen vorstellen!

>

> [mm]z^{3}[/mm] = 8i

>

> Zur Lösung der Aufgabe habe ich die "Moivre-Formel"
> verwendet:

>

> [mm]\wurzel[n]{z} \ = \ \wurzel[n]{r}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)+\sin\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)\cdot{}i\right]\quad \text{mit}\quad k \ = \ 0 \ ... \ (n-1)[/mm]

>

> mit [mm]z \ = \ x+i\cdot{}y [/mm], [mm]|z|\ =\ r \ = \ \wurzel{x^2+y^2}[/mm]
> sowie [mm]\tan(\varphi) \ = \ \bruch{y}{x}[/mm]

>

> --------------------------

>

> [mm]|z|\ =\ r \ = \ \wurzel{x^2+y^2}[/mm] = [mm]\wurzel[3]{0^2+8^2}[/mm] = 4

>

Nein, wieso soll da 4 herauskommen? Das ist r=8, siehe unten.

> [mm]\tan(\varphi) \ = \ \bruch{y}{x}[/mm] = [mm]\tan(\varphi)[/mm] =
> [mm]\bruch{8}{0}[/mm] = 0

>

> [mm]\varphi=\arctan(0)=[/mm] 0

???

>

> [mm]\wurzel[n]{z} \ = \ \wurzel[n]{r}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)+\sin\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)\cdot{}i\right]\quad \text{mit}\quad k \ = \ 0 \ ... \ (n-1)[/mm]

>

> Ich komme dann auf folgende Ergebnisse:

>

> [mm]z_{1}[/mm] = [mm]\wurzel[3]{4}[/mm]

>

> [mm]z_{2}[/mm] =
> [mm]\wurzel[3]{4}(-\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}i)[/mm]

>

> [mm]z_{3}[/mm] =
> [mm]\wurzel[3]{4}(-\bruch{1}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2}i)[/mm]

>

> Stimmt das so?

>

Nein. Schon [mm] z_1 [/mm] ist falsch, denn es ist

[mm] \sqrt[3]{8}=2[/mm]
 
Weiter ist schlicht und ergreifend

[mm] \varphi=\frac{\pi}{2}[/mm]

also liegt (wenn man die übliche Nummerierung der Moivre-Formel zugrunde legt) [mm] z_1 [/mm] sicherlich auf keiner der Achsen, sondern es ist

[mm]z_1= \sqrt[3]{8}*\left ( cos\left ( \frac{\pi}{6}\right)-i*sin\left ( \frac{\pi}{6} \right ) \right )=2*\left ( \frac{\sqrt{3}}{2}- \frac{i}{2} \right )[/mm]

Rechne damit die beiden anderen Lösungen nochmal nach.


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Lösung der Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:57 So 29.01.2017
Autor: Dom_89

Hallo,

danke für die Antwort!

Ich verstehe nicht, warum r=8 ist, wenn doch eigentlich gilt $ |z|\ =\ r \ = \ [mm] \wurzel{x^2+y^2} [/mm] $

Vielleicht kannst du das nochmal genauer erklären?!

Vielen Dank ;)

Bezug
                        
Bezug
Lösung der Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:01 So 29.01.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> danke für die Antwort!

>

> Ich verstehe nicht, warum r=8 ist, wenn doch eigentlich
> gilt [mm]|z|\ =\ r \ = \ \wurzel{x^2+y^2}[/mm]

>

> Vielleicht kannst du das nochmal genauer erklären?!

Also deine Version ist völlig falsch. Ich muss gestehen, dass ich ebenfalls geschlampt habe. Nennen wir R den Betrag der Zahl [mm] z^3, [/mm] so ist

[mm] R=\left|0+8i\right|=\sqrt{0^2+8^2}=8 [/mm]

Und für den Radius der Lösungen deiner Gleichung gilt dann natürlich

[mm] r=\wurzel[3]{R}=\wurzel[3]{8}=2 [/mm]

So klarer?


Gruß, Diophant

Bezug
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