www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Algebra" - Körper
Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Körper: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:38 Do 11.01.2018
Autor: Franzi17

Aufgabe
a) z.Z.: [mm] \IQ[\wurzel[3]{2}] [/mm] ist Körper
b) [mm] z.Z.:\IR/(x^3+1) [/mm] ist Körper

Bei der a.)
Wollte ich zuerst zeigen, dass [mm] \IQ[\wurzel[3]{2}] [/mm] Unterring von [mm] \IR [/mm] ist
also
1.) 1 [mm] \in \IR [/mm] in [mm] \IQ[\wurzel[3]{2}] [/mm]
2.) für alle x,y [mm] \in \IQ[\wurzel[3]{2}] [/mm] ist x-y [mm] \in \IQ[\wurzel[3]{2}] [/mm]

Bei 1.) und 2.) gab es keine Probleme
bei 3.) für alle x,y [mm] \in \IQ[\wurzel[3]{2}] [/mm] ist x*y [mm] \in \IQ[\wurzel[3]{2}] [/mm]
habe ich folgendes Problem:

(a + [mm] \wurzel[3]{2}b)(c [/mm] + [mm] \wurzel[3]{2}d) [/mm] =
=  ac + [mm] \wurzel[3]{2}bc [/mm] + [mm] \wurzel[3]{2} [/mm] ad + 2^(2/3)*bd =
= ac + (bc + [mm] ad)\wurzel[3]{2}] [/mm]  + 2^(2/3)*bd

wobei ac [mm] \in \IQ, [/mm] bc+ ad [mm] \in \IQ, [/mm] da [mm] \IQ [/mm] Körper
aber 2^(2/3)*bd ist nicht [mm] \in \IQ [/mm]

aber damit wäre [mm] \IQ[\wurzel[3]{2}] [/mm] multiplikativ ja nicht abgeschlossen??


bei der b.)
hatte ich versucht mit eine Abbildung zu konstruieren, von
[mm] \IR[x] [/mm] -> [mm] \IC [/mm]
die Konstanten auf Konstanten schickt und
x --> 1/2 + [mm] \wurzel{3}*i/2 [/mm]
ich wollte zeigen dass [mm] (x^3 [/mm] + 1) der Kern der Abbildung ist und
die Abbildung surjektiv. also [mm] \IR/(x^3+1) [/mm] isomorph zu [mm] \IC [/mm]

aber die Abbildung ist nicht surjektiv
und ich glaube ich bin vollkommen auf dem Holzweg.

Ich wäre sehr froh um Tipps!
Vielen Dank


        
Bezug
Körper: zu a)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:43 Do 11.01.2018
Autor: HJKweseleit


> a) z.Z.: [mm]\IQ[\wurzel[3]{2}][/mm] ist Körper
>  b) [mm]z.Z.:\IR/(x^3+1)[/mm] ist Körper
>  Bei der a.)
>  Wollte ich zuerst zeigen, dass [mm]\IQ[\wurzel[3]{2}][/mm]
> Unterring von [mm]\IR[/mm] ist
>  also
> 1.) 1 [mm]\in \IR[/mm] in [mm]\IQ[\wurzel[3]{2}][/mm]
>  2.) für alle x,y [mm]\in \IQ[\wurzel[3]{2}][/mm] ist x-y [mm]\in \IQ[\wurzel[3]{2}][/mm]
>  
> Bei 1.) und 2.) gab es keine Probleme
>  bei 3.) für alle x,y [mm]\in \IQ[\wurzel[3]{2}][/mm] ist x*y [mm]\in \IQ[\wurzel[3]{2}][/mm]
>  
> habe ich folgendes Problem:
>
> (a + [mm]\wurzel[3]{2}b)(c[/mm] + [mm]\wurzel[3]{2}d)[/mm] =
>  =  ac + [mm]\wurzel[3]{2}bc[/mm] + [mm]\wurzel[3]{2}[/mm] ad + 2^(2/3)*bd =
>  = ac + (bc + [mm]ad)\wurzel[3]{2}][/mm]  + 2^(2/3)*bd
>  
> wobei ac [mm]\in \IQ,[/mm] bc+ ad [mm]\in \IQ,[/mm] da [mm]\IQ[/mm] Körper
>  aber 2^(2/3)*bd ist nicht [mm]\in \IQ[/mm]
>  
> aber damit wäre [mm]\IQ[\wurzel[3]{2}][/mm] multiplikativ ja nicht
> abgeschlossen??

Doch. Zu [mm] \IQ[\wurzel[3]{2}] [/mm] gehören alle Produkte der Linearkombinationen a + [mm] b\wurzel[3]{2}. [/mm]  Und deshalb nimmst du das Element [mm] (\wurzel[3]{2})^2=\wurzel[3]{4} [/mm] mit in die Menge auf, und damit auch alle Linearkombinationen der Form

a + [mm] b\wurzel[3]{2}+ c\wurzel[3]{4} [/mm] mit a,b,c [mm] \in \IQ. [/mm]

Da [mm] (\wurzel[3]{2})^3=8 [/mm] wieder [mm] \in \IQ [/mm] ist, ist nun die Menge algebraisch abgeschlossen und bildet den von dir gesuchte Körper.

Bezug
                
Bezug
Körper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:26 Fr 12.01.2018
Autor: Franzi17

Vielen Dank für die Hilfe!!

Hat jemand einen Tipp bei der b)?
Wäre sehr froh darum
Danke!

Bezug
                
Bezug
Körper: a.)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:02 Do 18.01.2018
Autor: Franzi17

Hallo,
Ich habe nochmals eine Frage zur a.)
Ich hab nach deiner Antwort
[mm]  \IQ[\wurzel[3]{2}] [/mm] als [mm] ={a+ \wurzel[3]{2}b+  \wurzel[3]{4}c} [/mm]  mit a,b,c [mm] \in \IQ [/mm] aufgefasst

Damit sind die Axiome, dass es eim Unterring vom [mm] \IR [/mm] gut zu zeigen.
Ich habe jetzt jedoch Probleme damit zusätzlich zu zeigen dass es für jedes r [mm] \in  \IQ[\wurzel[3]{2}] [/mm] ein multiplikatives Inverses [mm] \in  \IQ[\wurzel[3]{2}] [/mm] gibt

Sei r = [mm] a+ \wurzel[3]{2}b+  \wurzel[3]{4}c [/mm]
Es existiert ein r^(-1) [mm] \in \IR [/mm]
r^(-1) = [mm] 1/(a+ \wurzel[3]{2}b+  \wurzel[3]{4}c) [/mm]

Meine Idee war mit
[mm] (a- \wurzel[3]{2}b-\wurzel [3]{4}c)/(a- \wurzel[3]{2}b-\wurzel[3]{4}c) [/mm]
Zu erweitern.
Das Ergebnis ist
[mm] (a- \wurzel[3]{2}b-\wurzel [3]{4}c)/(a^2 [/mm] - 16bc [mm] -\wurzel [3]{4}b^2 -\wurzel [3]{2}c^2) [/mm]
Ich schaffe damit keine Patrialbruchzerlegung so dass ich zeigen kann das r^(-1) auch [mm] \in [/mm]
[mm]  \IQ[\wurzel[3]{2}] [/mm]
Wäre sehr froh um einen Tipp. Vielen Dank!

Bezug
                        
Bezug
Körper: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Mo 22.01.2018
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:12 Mo 15.01.2018
Autor: hippias

b) ist unsinnig und/oder falsch. Korrigiere die Aufgabenstellung doch bitte.

Ich vermute, Du sollst zeigen, dass [mm] $\IR[x]/(x^3+1)$ [/mm] kein Körper ist. Im günstigsten Fall hast Du einen Satz in der Vorlesung, welche Voraussetzungen ein Polynom erfüllen muss, damit der entsprechende Faktorring ein Körper ist, oder Du musst wie im Teil a) die Axiome nachrechnen, bis Du eines findest, das nicht erfüllt ist (es ist meist immer dasselbe).


Bezug
                
Bezug
Körper: b.)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:46 Do 18.01.2018
Autor: Franzi17

Hallo,
bezüglich der b.) war tatsächlich ein Fehler im der Aufgabenstellung vom Übungsblatt.
Es ist zu zeigen, dass [mm] \IR[x]/(x^3+1) [/mm] kein Körper ist.
Ist meine Lösung so korrekt?
Behauptung: es existieren Nullteiler, [mm] (x^3+1) [/mm] ist kein Primideal
Sei ein Polynom P [mm] \im (x^3+1) [/mm] dann existiert ein Q, dass
P [mm] =Q(x^3+1) [/mm]
Daraus folgt: p = 0 oder deg(P) grösser gleich 3
Also sind x+1 und [mm] x^2-x+1 [/mm] nicht [mm] \in (x^3+1) [/mm]
Also: x+1 nicht 0
Und [mm] x^2 [/mm] - ×+1 nicht null
Aber das Produkt der beiden ergibt [mm] x^3+1=0 [/mm]
Damit exisiteren Nullteiler und das Ideal ist kein Primideal

Bezug
                        
Bezug
Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:32 Do 18.01.2018
Autor: sven1

Genau, [mm] $x^3+1$ [/mm] ist nicht irriduzibel in [mm] $\IR[X]$, [/mm] da das Polynom vom Grad [mm] $\le [/mm] 3$ ist, reicht es zu testen, ob es eine Nullstelle hat und $-1$ ist in der Tat eine Nullstelle von diesem Polynom. Das heißt, dass [mm] $x^3+1 [/mm] = [mm] (x+1)(x^2-x+1)$ [/mm] reduzibel in [mm] $\IR$ [/mm] ist, da die Einheiten in [mm] $\IR[X]$ [/mm] genau alle Elemente aus [mm] $\IR$ [/mm] sind außer die Null.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 3h 26m 1. Teekanne3d
UAnaR1FolgReih/Potenzreiehenentwicklung
Status vor 4h 49m 15. Al-Chwarizmi
IntTheo/Flächenmaß berechnen
Status vor 7h 41m 3. leduart
z-transformation/z transformation und dann?
Status vor 10h 53m 4. leduart
Algebra/Gleichung auflösen
Status vor 12h 0m 7. Tipsi
UAnaR1FunkInt/Faltungen abschätzen
^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de