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| Aufgabe | Sei [mm] f:\IR \to \IR [/mm] stetig. Beweisen Sie:
[mm] \integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{1}{f(x+y) dx}dy}=\integral_{0}^{2}{(1-|t-1|)f(t)dt}. [/mm] |
Guten Tag!
Ich habe Schwierigkeiten, für den obigen Beweis einen Ansatz zu finden. Scheinbar wird hier ein Zweifachintegral zu einem einfachen Integral reduziert, indem die Variablen x und y durch t ersetzt werden. Wird dafür eine Transformation genutzt, auf die ich selbst kommen muss?
Da der Ausdruck (1-|t-1) rechts des Gleichheitszeichens vor der Funktion steht, kann ich ihn scheinbar "herausziehen". Ist es also eine sinnvolle Idee, mit diesem Ausdruck zu arbeiten, um auf eine geeignete Transformation zu kommen?
Für einen Denkanstoß wäre ich sehr dankbar!
Beste Grüße
mathe_thommy
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Man kann das durch eine Substitution lösen. Dazu ersetzt man die Variablen [mm]x,y[/mm] durch [mm]s,t[/mm] gemäß
[mm]x = t-s \, , \ \ y = s[/mm]
Dabei geht das Einheitsquadrat [mm]I^2=[0,1]^2[/mm] in [mm]xy[/mm]-Koordinaten über in das Parallelogramm [mm]P[/mm] in [mm]st[/mm]-Koordinaten mit den Ecken [mm](s,t) = (0,0), \ (0,1), \ (1,2), \ (1,1)[/mm]. Der Betrag der Funktionaldeterminanten ist 1, so daß
[mm]\int_{I^2} f(x+y) ~ \mathrm{d}(x,y) = \int_P f(t) ~ \mathrm{d}(s,t)[/mm]
folgt. Und jetzt Fubini: außen über [mm]t[/mm] und innen über [mm]s[/mm] integrieren.
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Vielen Dank für die ausführliche Antwort!
Wenn ich alles richtig verstanden habe, erhalte ich nun doch:
[mm] \integral_{P}^{}{f(t) d(s,t)}=\integral_{0}^{2}{\integral_{0}^{1}{f(t) ds dt}}=\integral_{0}^{2}{f(t)\integral_{0}^{1}{1 ds dt}}=\integral_{0}^{2}{f(t) dt}=F(2)-F(0).
[/mm]
Das sieht für mich nicht korrekt aus. Könnte mir bitte jemand helfen und einen Tipp geben, wo mein Fehler liegt?
Mit besten Grüßen
mathe_thommy
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Der Fehler besteht darin, daß du über das rot schraffierte Rechteck statt über das grüne Parallelogramm integrierst.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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Danke für die anschauliche Rückmeldung!
Scheinbar muss ich die Integrationsgrenzen anpassen. Da ich zuerst innen über s integriere, scheinen mit die Grenzen 0 und 1 beim inneren Integral korrekt zu sein (das würde auch mit der Grafik übereinstimmen). Muss ich beim äußeren Integral dann die beiden Geraden t und t-1 als Grenzen wählen?
Dann erhalte ich:
$ [mm] \integral_{P}^{}{f(t) d(s,t)}=\integral_{t}^{t-1}{\integral_{0}^{1}{f(t) ds dt}}=\integral_{t}^{t-1}{f(t)\integral_{0}^{1}{1 ds dt}}=\integral_{t}^{t-1}{f(t) dt}=F(t-1)-F(t). [/mm] $
Das sieht hinsichtlich des Ausdrucks $t-1$ doch gar nicht verkehrt aus. Jetzt muss ich nur umformen, um auf die Form der zu beweisenden Aussage zu kommen. Wie schaffe ich es, den Ausdruck $t-1$ aus dem Argument vor die Funktion zu ziehen?
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Es ist sinnfrei, als Integrationsgrenzen von [mm]t[/mm] abhängige Terme anzugeben, wenn über die Variable [mm]t[/mm] integriert wird.
Der Integrationsbereich für [mm]t[/mm] ist das Intervall [mm][0,2][/mm]. Allerdings hängen die Grenzen des inneren Integrals davon ab, wo ich mich mit [mm]t[/mm] im Intervall befinde. Man führt daher eine Fallunterscheidung durch:
[mm][0,2] = [0,1] \cup [1,2][/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Für [mm]t \in [0,1][/mm] fest gewählt variiert [mm]s[/mm] von 0 bis [mm]t[/mm]. Daher geht die Rechnung so:
[mm]\int_P f(t) ~ \mathrm{d}(s,t) \ = \ \int \limits_0^1 \int \limits_0^t f(t) ~ \mathrm{d}s ~ \mathrm{d}t \ + \ \int \limits_1^2 \int \limits_{\text{???}}^{\text{???}} f(t) ~ \mathrm{d}s ~ \mathrm{d}t[/mm]
Jetzt überlege selber, wie die inneren Integrationsgrenzen im zweiten Summanden heißen müssen. Die obere Grenze ist einfach. Und die untere?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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Jetzt ist mir die Abhängigkeit der Integrationsgrenzen von den Paramtern erst einmal richtig klar geworden - besten Dank!
Beim zweiten Summanden würde ich für das innere Integral $2-t$ wählen, da $s$ für $t=1$ den Wert 1 annehmen muss und für $t=1.5$ den Wert 0.5. ist das eine sinnvoll gewählte Grenze?
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Ich verstehe deine ganze Argumentation nicht. Du sprichst von einzelnen Werten, dabei mußt du doch ein Integrationsintervall angeben.
Nehmen wir als Beispiel [mm]t=1{,}2[/mm]. Wenn du jetzt auf dieser Höhe eine Strecke parallel zur [mm]s[/mm]-Achse aus dem Parallelogramm ausschneidest, dann beginnen die [mm]s[/mm]-Werte der Punkte bei [mm]s=0{,}2[/mm] und enden bei [mm]s=1[/mm]. Das Intervall für [mm]s[/mm] ist daher [mm][0{,}2 \, ;1][/mm].
Nehmen wir als weiteres Beispiel [mm]t=1{,}9[/mm]. Jetzt beginnen die [mm]s[/mm]-Werte der Punkte der ausgeschnittenen Strecke bei [mm]s=0{,}9[/mm] und enden bei [mm]s=1[/mm]. Das Intervall für [mm]s[/mm] ist daher [mm][0{,}9 \, ;1][/mm].
Diesen an zwei Beispielen demonstrierten Zusammenhang mußt du jetzt allgemein beschreiben. Wenn du ein [mm]t \in [1,2][/mm] fest wählst, welches Intervall durchlaufen dann die [mm]s[/mm]-Werte der Punkte der aus dem Parallelogramm auf dieser [mm]t[/mm]-Höhe ausgeschnittenen Strecke?
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Gut, $t$ ist beim zweiten Summanden beliebig aber fest aus dem Intervall $[1;2]$ zu wählen. Für den kleinsten Fall $t=1$ ist $s=1$, weiter ist für $t=2$ dann $s=0$. Entsprechend ist $s$ beliebig aber fest aus dem Intervall $[0;1]$ zu wählen, oder?
Damit wäre meinte Untergrenze 0 und meine Obergrenze 1?
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Hiho,
> Gut, [mm]t[/mm] ist beim zweiten Summanden beliebig aber fest aus
> dem Intervall [mm][1;2][/mm] zu wählen. Für den kleinsten Fall [mm]t=1[/mm]
> ist [mm]s=1[/mm],
Das macht keinen Sinn. Du sollst für s ein Intervall angeben, da du ja die Strecke beschreiben sollst, die für gegebenes t noch im Parallelogramm liegt.
Für t=1 geht die Strecke von 0 bis 1. Also ist $s [mm] \in [/mm] [0,1]$ für $t=1$.
Das sollst du jetzt für beliebiges $t [mm] \in [/mm] [1,2]$ bestimmen und eine Darstellung für das Intervall finden. Das wird wohl von t abhängen müssen, wie du der Grafik entnehmen kannst.
Gruß,
Gono
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Um die Antwort von Gonozal_IX zu unterstützen, einmal ganz ausführlich:
[mm]t=1{,}0: \ \ s \in [0{,}0 \, ; 1{,}0][/mm]
[mm]t=1{,}1: \ \ s \in [0{,}1 \, ; 1{,}0][/mm]
[mm]t=1{,}2: \ \ s \in [0{,}2 \, ; 1{,}0][/mm]
[mm]t=1{,}3: \ \ s \in [0{,}3 \, ; 1{,}0][/mm]
[mm]\vdots[/mm]
[mm]t=1{,}9: \ \ s \in [0{,}9 \, ; 1{,}0][/mm]
[mm]t=2{,}0: \ \ s \in [1{,}0 \, ; 1{,}0][/mm]
Und jetzt allgemein für [mm]t \in [1,2][/mm]:
[mm]s \in [ \ldots \, ; \ldots][/mm]
Und dieses von [mm]t[/mm] abhängige [mm]s[/mm]-Intervall ist das Integrationsintervall für die innere Integration im zweiten Summanden. Schau dir die letzte Zeichnung an.
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Erneut vielen Dank für die beiden ausführlichen Antworten!
Das bedeutet, ich muss $s [mm] \in [/mm] [|1-t|;1]$ wählen und kann dann ganz gewöhnlich integrieren?
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Hiho,
> Erneut vielen Dank für die beiden ausführlichen
> Antworten!
> Das bedeutet, ich muss [mm]s \in [|1-t|;1][/mm] wählen
Da wir im Fall [mm] t\ge [/mm] 1 sind, kannst du den Betrag umschreiben. Im Allgemeinen gelten aber genau die Grenzen.
> und kann dann ganz gewöhnlich integrieren?
natürlich. Die Grenzen setzt du ja erst am Ende ein und bis dahin ist der ganze Schmu schon erledigt.
Gruß,
Gono
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Halten wir also fest:
[mm]\int_P f(t) ~ \mathrm{d}(s,t) \ = \ \int \limits_0^1 \int \limits_0^t f(t) ~ \mathrm{d}s ~ \mathrm{d}t \ + \ \int \limits_1^2 \int \limits_{t-1}^1 f(t) ~ \mathrm{d}s ~ \mathrm{d}t[/mm]
Das [mm]f(t)[/mm] hängt nicht von [mm]s[/mm] ab, kann also bei der inneren Integration jeweils vor das Integral gezogen werden. Dann mußt du dir nur noch überlegen, daß der Term [mm]1 - \left| t-1 \right|[/mm] in beiden Fällen genau das ist, was die inneren Integrationen liefern.
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Ich führe nun folgende Rechnung durch:
[mm] \integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{t}{f(t) ds} dt}+\integral_{1}^{2}{\integral_{t-1}^{1}{f(t) ds} dt}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{1}{f(t) \integral_{0}^{t}{1 ds} dt}+\integral_{1}^{2}{f(t) \integral_{t-1}^{1}{1 ds} dt}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{1}{f(t)*t dt}+\integral_{1}^{2}{f(t)*(1-(t-1)) dt}
[/mm]
Kann ich nun nicht die beiden Integrale vereinen, da die obere Grenze des ersten Summanden der unteren Grenze des zweiten Summenden entspricht, um folgendes zu erhalten?
= [mm] \integral_{0}^{2}{f(t)*t + f(t)*(1-(t-1))dt}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{2}{f(t)*(t +(1-(t-1)))dt}
[/mm]
Das sieht dem Endergebnis doch schon sehr ähnlich - mir ist nur nicht ganz klar, wie ich jetzt weiter vorgehen muss. Möglicherweise könntet ihr mir dabei noch einmal auf die Sprünge helfen?
Beste Grüße
mathe_thommy
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Nein, du kannst die Integrale nicht "vereinen". Jedenfalls nicht so, wie du es machst. Die Intervalladditivität
[mm]\int_a^c g(t) ~ \mathrm{d}t + \int_c^b g(t) ~ \mathrm{d}t \ = \ \int_a^b g(t) ~ \mathrm{d}t[/mm]
setzt voraus, daß unterm Integral derselbe Integrand steht. Bei dir steht aber einmal [mm]t \cdot f(t)[/mm] und das andere Mal [mm]\left( 1 - (t-1) \right) \cdot f(t)[/mm]. Also nix mit Intervalladditivität.
Und die Regel
[mm]\int_a^b g(t) ~ \mathrm{d}t + \int_a^b h(t) ~ \mathrm{d}t \ = \ \int_a^b \left( g(t) + h(t) \right) ~ \mathrm{d}t[/mm]
setzt voraus, daß die Integrationsgrenzen fest sind. Also auch nix mit dieser Regel.
Du bist sehr erfinderisch im Erzeugen eigener "Regeln". Diese sind nur leider logisch völlig unhaltbar.
Jetzt mal positiv denken. Der erste Teil deiner Umformung, also vor dem "Vereinen" der Integrale, ist ja korrekt. Beginne nun eine neue Rechnung und schreibe [mm]1 - \left| t-1 \right|[/mm] ohne Betragsstriche (Fallunterscheidung). Vielleicht fällt dir etwas auf. Vielleicht sogar, daß du eigentlich schon am Ziel bist.
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Dann werde ich jetzt noch einmal versuchen so fortzufahren, wie Du es vorschlägst und lasse den Betrag weg:
$ [mm] \integral_{0}^{1}{f(t)\cdot{}t dt}+\integral_{1}^{2}{f(t)\cdot{}(1-(|t-1|)) dt} [/mm]
= $ [mm] \integral_{0}^{1}{f(t)\cdot{}t dt}+\integral_{1}^{2}{f(t)\cdot{}(1-(t-1)) dt} [/mm] $
= $ [mm] \integral_{0}^{1}{f(t)\cdot{}t dt}+\integral_{1}^{2}{f(t)\cdot{} -t+2 dt} [/mm] $
Fallunterscheidung:
(i) t=2, dann ist zweiter Summand gleich Null
(ii) t>2, dann ist zweiter Summand $ [mm] \integral_{1}^{2}{f(t)\cdot{}+x dt} [/mm] $, wobei x negative reelle Zahl
(iii) t<2, dann ist zweiter Summand $ [mm] \integral_{1}^{2}{f(t)\cdot{}+x dt} [/mm] $, wobei x positive reelle Zahl
Das führt mich hinsichtlich der Umformung momentan nicht weiter - vermutlich habe ich etwas übersehen?
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Ehrlich gesagt weiß ich nicht, wie ich dir noch helfen soll, ohne alles zu verraten. Was du tust, ist für mich jedenfalls unverständlich. Warum stellst du es nicht so an, was ich es dir vorgeschlagen habe: "Beginne nun eine neue (!!!) Rechnung und schreibe [mm]1 - \left| t-1 \right|[/mm] ohne Betragsstriche (Fallunterscheidung)."
Dann tue ich es für dich.
[mm]1 - \left| t - 1 \right| \ = \ \begin{cases} 1 - \left( -(t-1) \right), & t \leq 1 \\ 1 - (t-1), & t > 1 \end{cases} \ = \ \begin{cases} 1 + (t-1), & t \leq 1 \\ 1 - (t-1), & t > 1 \end{cases} \ = \ \begin{cases} t, & t \leq 1 \\ 2 - t, & t > 1 \end{cases}[/mm]
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Da habe ich dich falsch verstanden - ich dachte, gemeint sei eine neue Rechnung hinsichtlich der Integrale.
Mit der Fallunterscheidung lassen sich für den Fall [mm] $t\le1$ [/mm] (wodurch nach Deiner Rechnung lediglich $t$ übrig bleibt)die beiden Integrale wie ursprünglich versucht vereinigen.
Für den zweiten Fall $t>1$ lasse ich dann vermutlich einfach beide Summanden getrennt voneinander stehen?
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[mm]\int_P f(t) ~ \mathrm{d}(s,t) \ = \ \int \limits_0^1 \int \limits_0^t f(t) ~ \mathrm{d}s ~ \mathrm{d}t \ + \ \int \limits_1^2 \int \limits_{t-1}^1 f(t) ~ \mathrm{d}s ~ \mathrm{d}t \ = \ \int \limits_0^1 t \cdot f(t) ~ \mathrm{d}t \ + \ \int_1^2 (2-t) \cdot f(t) ~ \mathrm{d}t[/mm]
[mm]= \ \int \limits_0^1 \left( 1 - \left| t-1 \right| \right) \cdot f(t) ~ \mathrm{d}t \ + \ \int \limits_1^2 \left( 1 - \left| t-1 \right| \right) \cdot f(t) ~ \mathrm{d}t \ = \ \int \limits_0^2 \left( 1 - \left| t-1 \right| \right) \cdot f(t) ~ \mathrm{d}t[/mm]
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