www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "komplexe Zahlen" - Gültigkeit im Komplexen
Gültigkeit im Komplexen < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "komplexe Zahlen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Gültigkeit im Komplexen: benötige Erklärung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:03 Mo 05.01.2015
Autor: smoot

Hallo,

Mich würde es interessieren, ob der Satz [mm] a^{2}+b^{2}=c^{2} [/mm] Gültigkeit bei der Berechnung von rechtwinkligen Dreiecken in der Gaußschen Zahlenebene hat?

Wenn ich z.B die Länge der Hypothenuse eines Dreiecks mit den Punkten z1= -5; z2 = -2+3j; z3= -2 [mm] (z\in \IC) [/mm] berechnen möchte (genauer ist der Abstand zwischen z1 und z2 gesucht)darf ich dann für die Länge der einen Seite = 3 als Wert verwenden (aus -2 + 3j)?
Hat die errechnete Seitenlänge in der Gaußschen Ebene die selbe Aussagekraft wie in der x/y Ebene und wenn nicht, wie könnte man sich diese veranschaulichen?

Danke für eure Hilfe.

        
Bezug
Gültigkeit im Komplexen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:04 Di 06.01.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo,
>  
> Mich würde es interessieren, ob der Satz [mm]a^{2}+b^{2}=c^{2}[/mm]
> Gültigkeit bei der Berechnung von rechtwinkligen Dreiecken
> in der Gaußschen Zahlenebene hat?

ja. Das liegt u.a. daran, dass die euklidische Norm des [mm] $\IR^2$ [/mm] das gleiche wie
die Norm in [mm] $\IC$ [/mm] ist, wenn man [mm] $\IC$ [/mm] mit dem [mm] $\IR^2$ [/mm] identifiziert. (Zudem
hat es etwas damit zu tun, wie die Addition in [mm] $\IC$ [/mm] mit einer *anschaulichen
Vektoraddition des [mm] $\IR^2$* [/mm] "zusammenhängt"!)

Anders bzw. etwas genauer gesagt:
Wenn Du [mm] $z=x+i*y\,$ [/mm] (mit $x,y [mm] \in \IR$) [/mm] hast, dann kannst Du

    $z=x+iy$ mit $(x,y) [mm] \in \IR^2$ [/mm]

identifizieren. Dann ist $|z|$ die Länge der Hypothenuse des Dreiecks mit  den
Eckpunkten

    [mm] $(0,0),\,$ $(x,0)\,$ [/mm] und [mm] $\,(0,y).$ [/mm]
  
(Anmerkung: Ich schreibe, wie in der Mathematik gängiger, immer [mm] $i\,$ [/mm] statt
[mm] $j\,$ [/mm] für die imaginäre Einheit!)

> Wenn ich z.B die Länge der Hypothenuse eines Dreiecks mit
> den Punkten z1= -5; z2 = -2+3j; z3= -2 [mm](z\in \IC)[/mm] berechnen
> möchte (genauer ist der Abstand zwischen z1 und z2
> gesucht)darf ich dann für die Länge der einen Seite = 3
> als Wert verwenden (aus -2 + 3j)?

Das wären also die Punkte

    [mm] $Z_1:=(-5,0),\,$ $Z_2:=(-2,3)\,$ [/mm] und [mm] $Z_3:=(-2,0)$ [/mm]

im [mm] $\IR^2.$ [/mm] In der Tat gilt nun

    [mm] $\overrightarrow{Z_1,Z_3} \bullet \overrightarrow{Z_2,Z_3}=(3,0) \bullet (0,-3)=3*0+0*(-3)=0\,,$ [/mm]

(Kontrollrechnung zur Rechtwinkligkeit des Dreiecks; [mm] $\bullet$ [/mm] steht für das
*übliche* Skalarprodukt im [mm] $\IR^n$!), [/mm] so dass auch anschaulich

    [mm] $\|\overrightarrow{Z_1,Z_2}\|=\sqrt{\|(3,0)\|^2+\|(0,-3)\|^2}=3*\sqrt{2}$ [/mm]

berechnet werden kann.

Wesentlich einfacher ist aber

    [mm] $\|\overrightarrow{Z_1,Z_2}\|=|z_2-z_1|=|(-2+3*i)-(-5+0*i)|=|3+3*i|=\sqrt{\red{3}^2+\blue{3}^2}=\sqrt{18}=3*\sqrt{2}$ [/mm]

zu berechnen. Beachte: Für

    [mm] $\IC \ni z=\red{x}+i*\blue{y}$ [/mm] mit $x,y [mm] \in \IR$ [/mm]

gilt

    [mm] $|z|:=\sqrt{\blue{x}^2+\red{y}^2}\,.$ [/mm]

>  Hat die errechnete Seitenlänge in der Gaußschen Ebene
> die selbe Aussagekraft wie in der x/y Ebene und wenn nicht,
> wie könnte man sich diese veranschaulichen?

Die komplexe Zahlenexebene ist anschaulich mit dem [mm] $\IR^2$ [/mm] identifizierbar.
Beachte allerdings, dass Du [mm] "$\IR^2$-Vektoren [/mm] bzw. Punkte" nicht multiplizierst.
(Natürlich gibt es gewisse Multiplikationen wie etwa das Skalarprodukt, ich
meine aber "Multiplikation wie üblich".)

Die geometrische Deutung, wenn man also die in [mm] $\IC$ [/mm] definierte Multiplikation
zweier komplexer Zahlen in den [mm] $\IR^2$ [/mm] (wie etwa []hier in Bemerkung
und Definition 4.1
) *überträgt*, ist also schon etwas, was etwas
mehr Nachdenken erfordert. Aber für Deine Frage ist das nun eher etwas
nebensächlich ...

P.S. Mach' Dir bitte auch klar: Ist

    [mm] $z_k=x_k+i*y_k$ [/mm] mit [mm] $x_k,y_k \in \IR$ [/mm] für $k=1,2$,

wir identifizieren die kleinen z entsprechend mit in Großbuchstaben
geschriebenen Z mit

    [mm] $Z_k=(x_k,y_k) \in \IR^2,$ [/mm]

so "passt"

    [mm] $z_2-z_1=(x_2-x_1)+i*(y_2-y_1)$ [/mm]

"anschaulich" zu

    [mm] $\overrightarrow{Z_1,Z_2}=Z_2-Z_1=(x_2-x_1,y_2-y_1).$ [/mm]

Gruß,
  Marcel

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "komplexe Zahlen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de