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| Aufgabe | Beschreibe die folgenden Gruppen
1) [mm] \IZ_{10} \times \IZ_{15} \times \IZ_{20}
[/mm]
2) [mm] \IZ_{28} \times \IZ_{42}
[/mm]
mit der Form: [mm] \IZ_{d_1}\times .....\times \IZ_{d_m} [/mm] wobei [mm] d_1|d_2|....|d_m [/mm] |
Mit dem Chinesischen Restesatz, weiss ich, dass das
[mm] \IZ_{10}\cong \IZ_{2} \times \IZ_{5} [/mm]
und [mm] \IZ_{15}\cong \IZ_{3} \times \IZ_{5} [/mm] und
[mm] \IZ_{20} \cong \IZ_{4} \times \IZ_{5}
[/mm]
[mm] \IZ_{10} \times \IZ_{15} \times \IZ_{20}\cong \IZ_{2} \times \IZ_{5} \times \IZ_{3} \times \IZ_{5} \times \IZ_{4} \times \IZ_{5}
[/mm]
Nur leider gilt hier nicht 2|5|3|5|4|5....
Was mache ich falsch ?
Liebe Gruesse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:01 Fr 12.05.2017 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Herzblatt!
> Mit dem Chinesischen Restesatz, weiss ich, dass das
>
>
> [mm]\IZ_{10}\cong \IZ_{2} \times \IZ_{5}[/mm]
> und [mm]\IZ_{15}\cong \IZ_{3} \times \IZ_{5}[/mm] und
> [mm]\IZ_{20} \cong \IZ_{4} \times \IZ_{5}[/mm]
>
> [mm]\IZ_{10} \times \IZ_{15} \times \IZ_{20}\cong \IZ_{2} \times \IZ_{5} \times \IZ_{3} \times \IZ_{5} \times \IZ_{4} \times \IZ_{5}[/mm]
>
> Nur leider gilt hier nicht 2|5|3|5|4|5....
>
> Was mache ich falsch ?
Gar nichts (abgesehen davon, dass du das Ziel der Aufgabe noch nicht erreicht hast).
Es gilt unter Verwendung deiner Überlegung
[mm] $\IZ_{10} \times \IZ_{15} \times \IZ_{20}\cong(\IZ_{5})\times(\IZ_{5}\times\IZ_{2})\times(\IZ_{5}\times\IZ_{4}\times\IZ_{3})$.
[/mm]
Wende nun auf die geklammerten Ausdrücke wieder den chinesischen Restsatz (diesmal in "umgekehrter Richtung") an.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:46 Fr 12.05.2017 | | Autor: | Herzblatt |
> Hallo Herzblatt!
>
>
> > Mit dem Chinesischen Restesatz, weiss ich, dass das
> >
> >
> > [mm]\IZ_{10}\cong \IZ_{2} \times \IZ_{5}[/mm]
> > und [mm]\IZ_{15}\cong \IZ_{3} \times \IZ_{5}[/mm] und
> > [mm]\IZ_{20} \cong \IZ_{4} \times \IZ_{5}[/mm]
> >
> > [mm]\IZ_{10} \times \IZ_{15} \times \IZ_{20}\cong \IZ_{2} \times \IZ_{5} \times \IZ_{3} \times \IZ_{5} \times \IZ_{4} \times \IZ_{5}[/mm]
>
> >
> > Nur leider gilt hier nicht 2|5|3|5|4|5....
> >
> > Was mache ich falsch ?
> Gar nichts (abgesehen davon, dass du das Ziel der Aufgabe
> noch nicht erreicht hast).
>
> Es gilt unter Verwendung deiner Überlegung
>
> [mm]\IZ_{10} \times \IZ_{15} \times \IZ_{20}\cong(\IZ_{5})\times(\IZ_{5}\times\IZ_{2})\times(\IZ_{5}\times\IZ_{4}\times\IZ_{3})[/mm].
>
> Wende nun auf die geklammerten Ausdrücke wieder den
> chinesischen Restsatz (diesmal in "umgekehrter Richtung")
> an.
>
ah super, vielen lieben Dank. Ich bekomme dann raus: 5|10|60 und fuer die andere Aufgabe 2|14|42, stimmts?
>
> Viele Grüße
> Tobias
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> > Ich bekomme dann raus:
> > 5|10|60
> ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> > und fuer die andere Aufgabe 2|14|42, stimmts?
> ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> Vermutlich hast du irgendwo die
> "Teilferfremdheits-Voraussetzung" des Chinesischen
> Restsatzes nicht beachtet.
> Um Näheres zu sagen, müsste ich deine Überlegung
> sehen.
Ja das stimmt, hab ausversehen [mm] \IZ_{4}\cong \IZ_{2} \times \IZ_{2} [/mm] gesetzt, was natürlich voelliger schwachsinn ist.
Trotzdem komme ich nicht weiter, ich habe mittlerweile:
[mm] \IZ_{28}\cong \IZ_{4} \times \IZ_{7}
[/mm]
und
[mm] \IZ_{42}\cong \IZ_{3} \times \IZ_{2} \times \IZ_{7} [/mm]
aber finde irgendwie nicht die Möglichkeit 4,7,3,2 und 7 so zu mutliplizieren, dass ich auf [mm] d_1|d_2....komme....hast [/mm] du vielleicht einen Tipp?
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:51 Fr 12.05.2017 | | Autor: | tobit09 |
> Trotzdem komme ich nicht weiter, ich habe mittlerweile:
> [mm]\IZ_{28}\cong \IZ_{4} \times \IZ_{7}[/mm]
> und
> [mm]\IZ_{42}\cong \IZ_{3} \times \IZ_{2} \times \IZ_{7}[/mm]
> aber finde irgendwie nicht die Möglichkeit 4,7,3,2 und 7
> so zu mutliplizieren, dass ich auf [mm]d_1|d_2....komme....hast[/mm]
> du vielleicht einen Tipp?
Es ist schwer, einen Tipp zu geben, ohne alles zu verraten.
Aber du kannst dir ja weitere analoge Aufgaben ausdenken, an denen du dann übst.
Wähle [mm] $d_1=2*7$ [/mm] und [mm] $d_2=4*3*7$.
[/mm]
Wie bin ich darauf gekommen? (Unpräzise erklärt:)
Der Faktor 7 taucht zweimal auf, also muss er in zwei [mm] $d_i$'s [/mm] vorkommen (in den [mm] $d_i$ [/mm] für die größten beiden i).
Der Faktor 3 taucht einmal auf, also muss er in dem [mm] $d_i$ [/mm] mit dem größten $i$ vorkommen.
Der Faktor 2 taucht in Form von 2 und in Form von [mm] $4=2^2$ [/mm] auf. Also muss das [mm] $d_i$ [/mm] mit dem größten $i$ den Faktor 4 und das [mm] $d_i$ [/mm] mit dem zweitgrößten $i$ den Faktor 2 erhalten.
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