www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Folgen und Grenzwerte" - Geometrische Summenformel
Geometrische Summenformel < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Grenzwerte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Geometrische Summenformel: Wieso ist es so?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:52 Do 04.09.2014
Autor: Sykora

    [mm] s_n [/mm] = [mm] a_0\frac{q^{n+1}-1}{q-1} [/mm] = [mm] a_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q} [/mm]


Die Frage dazu lautet, wie kommt es dazu, dass man die [mm] a_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q} [/mm] einfach in [mm] a_0\frac{q^{n+1}-1}{q-1} [/mm] umstellen kann?

Also es geht um die 1, die einfach als -1 am ende hinzugefügt wird..
Gibt es dafür ein Rechenschritt?



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Geometrische Summenformel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:57 Do 04.09.2014
Autor: Diophant

Hallo und

[willkommenmr]

> [mm]s_n[/mm] = [mm]a_0\frac{q^{n+1}-1}{q-1}[/mm] =
> [mm]a_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm]

>
>

> Die Frage dazu lautet, wie kommt es dazu, dass man die
> [mm]a_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm] einfach in
> [mm]a_0\frac{q^{n+1}-1}{q-1}[/mm] umstellen kann?

>

> Also es geht um die 1, die einfach als -1 am ende
> hinzugefügt wird..
> Gibt es dafür ein Rechenschritt?

>

Ganz einfach: Zähler und Nenner werden mit (-1) multipliziert. Fragt sich hier, wozu das notwendig ist, denn die erste Form ist eigentlich die gängige, aber das nur am Rande.


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Geometrische Summenformel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:03 Do 04.09.2014
Autor: Sykora

So einfach also..

Dann bedanke ich mich mal rechtherzlich für die schnelle und verständliche Antwort :)

Einen schönen abend noch.

Bezug
                        
Bezug
Geometrische Summenformel: vice versa
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:08 Do 04.09.2014
Autor: Diophant

Hallo,

> So einfach also..

So einfach kann Mathematik sein. :-)
>

> Dann bedanke ich mich mal rechtherzlich für die schnelle
> und verständliche Antwort :)

Gern geschehen!

>

> Einen schönen abend noch.

Ebenso!


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Geometrische Summenformel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:30 Do 04.09.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo und
>  
> [willkommenmr]
>  
> > [mm]s_n[/mm] = [mm]a_0\frac{q^{n+1}-1}{q-1}[/mm] =
>  > [mm]a_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm]

>  >
>  >
>  > Die Frage dazu lautet, wie kommt es dazu, dass man die

>  > [mm]a_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm] einfach in

>  > [mm]a_0\frac{q^{n+1}-1}{q-1}[/mm] umstellen kann?

>  >
>  > Also es geht um die 1, die einfach als -1 am ende

>  > hinzugefügt wird..

>  > Gibt es dafür ein Rechenschritt?

>  >
>  
> Ganz einfach: Zähler und Nenner werden mit (-1)
> multipliziert. Fragt sich hier, wozu das notwendig ist,

notwendig ist das sicher nicht.

> denn die erste Form ist eigentlich die gängige, aber das
> nur am Rande.

Wieso? Für mich ist die Darstellung

    [mm] $\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ [/mm]

die gängige, das wäre die zweite. Sie ist für mich "deswegen" gängiger,
weil

    [mm] $\sum_{k=0}^\infty q^k=\frac{1}{1-q}$ [/mm] (es sieht halt als [mm] $=-\;\frac{1}{q-1}$ [/mm] *unschöner* aus),

was ja für $|q| < [mm] 1\,$ [/mm] gilt, für reelle [mm] $q\,$ [/mm] einfach bzgl. des Vorzeichens schnell zu
durchschauen ist.

Vielleicht ist oben

    [mm] $\frac{1-q^{n+1}}{1-q}=\frac{q^{n+1}-1}{q-1}$ [/mm]

nur deswegen geschrieben worden, weil der "Vorzeichenüberblick" mal in
der einen, mal in der anderen Form *leichter* ist. Für $q > [mm] 1\,$ [/mm] sieht man an der
Bruchdarstellung rechterhand halt direkt, dass sowohl Zähler als auch
Nenner (echt) positiv sind.

Aber *nötig* oder *notwendig* ist sowas sicher nicht...

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Geometrische Summenformel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:03 Fr 05.09.2014
Autor: DieAcht

Hallo,


> Ganz einfach: Zähler und Nenner werden mit (-1) multipliziert.

Das ist zwar richtig, aber ich bin nicht damit einverstanden. Als
Schüler hätte mich der Grund interessiert. Natürlich: Es geht um
das neutrale Element der Multiplikation, welches wir mit

      [mm] 1=\frac{-1}{-1} [/mm]

geschickt benutzen. Das sieht für mich ein wenig "getrickst" aus.
Meine Antwort wäre: Im Zähler und im Nenner [mm] $(-1)\$ [/mm] ausklammern.
Versteht ihr meinen Gedankengang? Natürlich ist es ausgeschrieben
genau das Gleiche, aber hier geht mir nur um das "Verständnis".


Gruß
DieAcht

Bezug
                        
Bezug
Geometrische Summenformel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:19 Fr 05.09.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo,
>  
>
> > Ganz einfach: Zähler und Nenner werden mit (-1)
> multipliziert.
>  
> Das ist zwar richtig, aber ich bin nicht damit
> einverstanden. Als
>  Schüler hätte mich der Grund interessiert. Natürlich:
> Es geht um
>  das neutrale Element der Multiplikation, welches wir mit
>  
> [mm]1=\frac{-1}{-1}[/mm]
>  
> geschickt benutzen. Das sieht für mich ein wenig
> "getrickst" aus.
>  Meine Antwort wäre: Im Zähler und im Nenner [mm](-1)\[/mm]
> ausklammern.
>  Versteht ihr meinen Gedankengang? Natürlich ist es
> ausgeschrieben
>  genau das Gleiche, aber hier geht mir nur um das
> "Verständnis".

klar, dass Dein Argument vielleicht *verständlicher* erscheint. Ich würde
das aber dennoch keineswegs dem Argument von Diophant vorziehen,
sondern es höchstens als Ergänzung erwähnen. Ansonsten wird man
ständig an gewissen Stellen stolpern, etwa bei der quadratischen
Ergänzung

    [mm] $x^2+px+q=0$ [/mm]

    [mm] $\iff$ $(x+\tfrac{p}{2})^2-\frac{p^2}{4}+q=0\,.$ [/mm]

Dort ist auch nur eine *additive Null* geschickt addiert worden. Natürlich
kann man hier auch anders vorgehen und sagen:
Ich vergleiche

    [mm] $x^2+px+q=0$ [/mm]

mal mit

    [mm] $(x+\tfrac{p}{2})^2=x^2+px+\frac{p^2}{4}\,.$ [/mm]

Dann

    [mm] $x^2+px+q=0$ [/mm]

    [mm] $\iff$ $x^2+px+q+\frac{p^2}{4}=\frac{p^2}{4}$ [/mm]

    [mm] $\iff$ $x^2+px+\frac{p^2}{4}=\frac{p^2}{4}-q$ [/mm]

    [mm] $\iff$ $(x+\tfrac{p}{2})^2=\frac{p^2}{4}-q\,.$ [/mm]

Aber im Endeffekt ist das nur eine andere Methode, um *die additive Null*
geschickt ins Spiel zu bringen. Am Besten ist es also, dass man beide Wege,
sowohl Dein Argument als auch das von Diophant, versteht. Denn beides
wird immer wieder angewendet werden. Was man lieber mag, ist eher eine
Frage des persönlichen Geschmacks oder *welche Technik man sich halt
lieber angewöhnt*.

Nebenbei: In der Differentialrechnung oder auch schon bei konvergenten
Folgen sieht man ja bei den Beweisen zu gewissen Sätzen *derartige
Methoden* auch permanent!

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
Geometrische Summenformel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:49 Do 04.09.2014
Autor: Marcel

Hallo,

>     [mm]s_n[/mm] = [mm]a_0\frac{q^{n+1}-1}{q-1}[/mm] =
> [mm]a_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm]
>
>
> Die Frage dazu lautet, wie kommt es dazu, dass man die
> [mm]a_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm] einfach in
> [mm]a_0\frac{q^{n+1}-1}{q-1}[/mm] umstellen kann?
>  
> Also es geht um die 1, die einfach als -1 am ende
> hinzugefügt wird..
>  Gibt es dafür ein Rechenschritt?

das wurde ja schon geklärt. Was ich gerne noch ergänzen würde, ist:
Wenn Du eine Gleichheit

    [mm] $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ [/mm]

siehst, die Dir nicht klar ist, so kannst Du aber dennoch versuchen,
herauszufinden, ob diese Umformung okay ist. Du musst nur

    $a*d$

mit [mm] $b*c\,$ [/mm] vergleichen - wenn das Gleiche rauskommt, ist alles in Butter.

Bei Dir oben:

    [mm] $a_0\frac{q^{n+1}-1}{q-1}=a_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ [/mm]

ist (für [mm] $a_0 \not=0$) [/mm] gleichwertig zu

    [mm] $\frac{q^{n+1}-1}{q-1}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\,.$ [/mm]

Man kann sich also auch mal davon überzeugen, dass in

    [mm] $(q^{n+1}-1)*(1-q)$ $\red{\textbf{=}}$ $(1-q^{n+1})*(q-1)$ [/mm]

das rote Gleichheitszeichen gerechtfertigt ist.

Gruß,
  Marcel

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Grenzwerte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de