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Es sei x [mm] \in \IR [/mm] mit |x|< 1. Zeigen Sie, dass gilt
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} nx^{n} [/mm] = [mm] \bruch{x}{(1-x)^{2}}
[/mm]
Also, ich habe als erstes schon einmal beide seiten durch x geteilt, so dass sich die äqivalente Aussage ergibt:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} (n+1)x^{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{(1-x)^{2}}
[/mm]
das sieht jetzt ja schon so ähnlich wie die geometrische Reihe aus...bzw. ist die ableitung der geometrischen Reihe
(ableitungen sind aber bisher in der vorlesung noch nicht dran gewesen)
also
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} x^{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{(1-x)}
[/mm]
nun weiss ich nicht wie ich da die verbindung herstellen kann...
wenn ich beide seiten mit [mm] \bruch{1}{(1-x)} [/mm] multipliziere habe ich ja
[mm] \bruch{1}{(1-x)}\summe_{n=0}^{\infty} x^{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{(1-x)^{2}}
[/mm]
aber
[mm] \bruch{1}{(1-x)}\summe_{n=0}^{\infty} x^{n} [/mm] ist doch nicht gleich [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (n+1)x^{n} [/mm] ???
wie komme ich hier weiter? bitte um einen Tipp 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:11 Fr 28.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Kennst du das Cauchyprodukt?
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Cauchyprodukt sagt mir was
also...
[mm] \bruch{1}{(1-x)^{2}}=
[/mm]
[mm] \bruch{1}{(1-x)}*\bruch{1}{(1-x)}= \summe_{n=0}^{\infty}x^{n}\summe_{n=0}^{\infty}x^{n}
[/mm]
da beide Reihen absolut konvergent sind kann ich jetzt das Cauchyprodukt bilden
= 1*1 + 1*x + x*1 + [mm] 1*x^{2} [/mm] + x*x + [mm] x^{2}*1...
[/mm]
= [mm] 1+2x+3x^{2}+...
[/mm]
= [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(n+1)x^{n}
[/mm]
jetzt wieder äquivalenzumformung und beide seiten mit x multiplizieren und ich hab es, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 04:01 Fr 28.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Ich sehe gerade nicht wie du hier das Cauchyprodukt anwendest. Jedenfalls würde ich es "anders herum" machen.
Schreibe:
[mm] $\sum_{n=0}^\infty (n+1)q^n=\sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{k=0}^n 1\right) q^n$
[/mm]
Ist dir dieser Schritt klar?
Nun versuche es auf die Form des Cauchyproduktes zu bringen.
Der "Zaubertrick" ist es hier allerdings zu erkennen, dass man diese Doppelsumme schreiben kann.
Der Rest ist nicht mehr so schwer. Es wird ein üblicher Trick verwendet. Das dazu addieren einer Null, aber forme vorher etwas um.
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hmmm...das ist mir nicht klar wie du das machen willst...aber ich hoffe bereits eine lösung gefunden zu haben...also cauchyprodukt bedeutet doch:
[mm] (\summe_{n=0}^{\infty} a_{n})*(\summe_{n=0}^{\infty} b_{n})=\summe_{n=0}^{\infty} c_{n} [/mm] mit [mm] c_{n}=\summe_{k=0}^{n} a_{k}b_{n-k}=(a_{0}b_{0})+(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{1}+a_{1}b_{0})+...+(a_{0}b_{n}+a_{0}b_{n-1}+...+a_{k}b_{n-k}+...+a_{n}b_{0})
[/mm]
jetzt ist bei mir [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n}=\summe_{n=0}^{\infty} b_{n}=\summe_{n=0}^{\infty}x^{n}
[/mm]
da [mm] \summe_{n=0}^{\infty}x^{n} [/mm] absolut konvergent ist kann ich cauchyprodukt bilden
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}x^{n}= 1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+...+x^{n}
[/mm]
also ist mein cauchyprodukt
=(1*1) + (1*x + x*1 )+ [mm] (1*x^{2} [/mm] + x*x + [mm] x^{2}*1)+(1*x^{3}+x*x^{2}+x^{2}*x+x^{3}*1)+...
[/mm]
[mm] =1+2x+3x^{2}+4x^{3}+...
[/mm]
[mm] =\summe_{n=0}^{\infty}(n+1)x^{n}
[/mm]
ich hoffe jetzt wird klar, wie ich das gemeint habe...ist meine Lösung denn so richtig oder kann man das nicht so machen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 04:40 Fr 28.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ehrlich gesagt habe ich noch nie etwas mit dem Cauchyprodukt selbst ausmultipliziert. So wie du es machst erscheint mir jedoch plausibel, aber ein Urteil über die Richtigkeit möchte ich nicht endgültig bilden.
"Meine" Lösung wäre nun mal:
$\sum_{n=0}^\infty (n+1)q^n=\sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{k=0}^n 1\right)q^n$
Ich schreibe n+1 lediglich als Summe, nämlich $\sum_{k=0}^n 1$ ich addiere n+1 mal die 1 mit sich selbst.
Nun kann ich ich q^n in diese Summe hineinziehen. Der Term hängt ja nicht von k ab.
Also:
$\left(\sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{k=0}^n q^n\right)$
Nun kommt der Trick mit der Null. Ich addiere im Exponenten k-k um die Form des Cauchyproduktes zu erhalten:
$\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n q^{n-k}q^k$
Nun habe ich in der Summe eine "Folge" der Form $a_{n-k}$ und $a_k$ und kann das Cauchyprodukt bilden.
$\sum_{n=0}^\infty q^n\sum_{n=0}^\infty q^n=\left(\sum_{n=0}^\infty q^n\right)^2$
Und was hier steht ist ja einfach die geometrische Reihe zum Quadrat. Ich hoffe ich habe mich auch was den Laufindex dem Cauchyprodukt entsprechend angepasst.
:)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:27 Fr 28.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> hmmm...das ist mir nicht klar wie du das machen
> willst...aber ich hoffe bereits eine lösung gefunden zu
> haben...also cauchyprodukt bedeutet doch:
>
> [mm](\summe_{n=0}^{\infty} a_{n})*(\summe_{n=0}^{\infty} b_{n})=\summe_{n=0}^{\infty} c_{n}[/mm]
> mit [mm]c_{n}=\summe_{k=0}^{n} a_{k}b_{n-k}=(a_{0}b_{0})+(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{1}+a_{1}b_{0})+...+(a_{0}b_{n}+a_{0}b_{n-1}+...+a_{k}b_{n-k}+...+a_{n}b_{0})[/mm]
Das stimmt nicht. Es ist
[mm] c_n=c_{n}=\summe_{k=0}^{n} a_{k}b_{n-k}=a_{0}b_{n}+a_{0}b_{n-1}+....+a_{n}b_{0}
[/mm]
>
> jetzt ist bei mir [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_{n}=\summe_{n=0}^{\infty} b_{n}=\summe_{n=0}^{\infty}x^{n}[/mm]
>
> da [mm]\summe_{n=0}^{\infty}x^{n}[/mm] absolut konvergent ist kann
> ich cauchyprodukt bilden
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}x^{n}= 1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+...+x^{n}[/mm]
Auch das stimmt nicht.
Es ist [mm]\summe_{n=0}^{\infty}x^{n}= 1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+...[/mm]
>
> also ist mein cauchyprodukt
>
> =(1*1) + (1*x + x*1 )+ [mm](1*x^{2}[/mm] + x*x +
> [mm]x^{2}*1)+(1*x^{3}+x*x^{2}+x^{2}*x+x^{3}*1)+...[/mm]
> [mm]=1+2x+3x^{2}+4x^{3}+...[/mm]
> [mm]=\summe_{n=0}^{\infty}(n+1)x^{n}[/mm]
Na ja, übersichtlich ist das nicht.
[mm] (\summe_{n=0}^{\infty}x^{n})*(\summe_{n=0}^{\infty}x^{n})=\summe_{n=0}^{\infty}c_n, [/mm]
wobei [mm] c_{n}=\summe_{k=0}^{n}x^k*x^{n-k}=\summe_{k=0}^{n}x^n=(n+1)x^n.
[/mm]
Fazit:
[mm] (\summe_{n=0}^{\infty}x^{n})*(\summe_{n=0}^{\infty}x^{n})=(\summe_{n=0}^{\infty}(n+1)x^n
[/mm]
Alles für |x|<1.
FRED
>
> ich hoffe jetzt wird klar, wie ich das gemeint habe...ist
> meine Lösung denn so richtig oder kann man das nicht so
> machen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:47 Fr 28.11.2014 | | Autor: | abakus |
> Es sei x [mm]\in \IR[/mm] mit |x|< 1. Zeigen Sie, dass gilt
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} nx^{n}[/mm] = [mm]\bruch{x}{(1-x)^{2}}[/mm]
>
> Also, ich habe als erstes schon einmal beide seiten durch x
> geteilt, so dass sich die äqivalente Aussage ergibt:
Hallo,
das kann man machen, ABER nur wenn x nicht 0 ist.
Hier ist also eine kleine Fallunterscheidung notwendig, wobei der Fall x=0 trivial ist.
Gruß Abakus
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (n+1)x^{n}[/mm] = [mm]\bruch{1}{(1-x)^{2}}[/mm]
>
> das sieht jetzt ja schon so ähnlich wie die geometrische
> Reihe aus...bzw. ist die ableitung der geometrischen Reihe
> (ableitungen sind aber bisher in der vorlesung noch nicht
> dran gewesen)
>
> also
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} x^{n}[/mm] = [mm]\bruch{1}{(1-x)}[/mm]
>
> nun weiss ich nicht wie ich da die verbindung herstellen
> kann...
>
> wenn ich beide seiten mit [mm]\bruch{1}{(1-x)}[/mm] multipliziere
> habe ich ja
>
> [mm]\bruch{1}{(1-x)}\summe_{n=0}^{\infty} x^{n}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{(1-x)^{2}}[/mm]
>
> aber
>
> [mm]\bruch{1}{(1-x)}\summe_{n=0}^{\infty} x^{n}[/mm] ist doch nicht
> gleich [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (n+1)x^{n}[/mm] ???
>
> wie komme ich hier weiter? bitte um einen Tipp
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:37 Fr 28.11.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Hier habe ich diesen Weg auch wiedergegeben. Als alternativen
Lösungsweg empfehle ich dir dieses Dokument von Marcel durch-
zulesen.
Edit: Auch wenn man die Differential- und Integralrechnung nicht
für den Beweis der Identität benutzen will gibt es noch andere
Lösungsmöglichkeiten. Man kann zum Beispiel die Aufgabe äquiva-
lent in eine Induktionsaufgabe umschreiben. Alternativ kenne ich
noch einen anderen Weg, den ich mir mal von Reverend abgeguckt
habe. Falls Interesse besteht, dann einfach nachfragen. 
Gruß
DieAcht
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