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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:07 Mo 23.05.2011 | | Autor: | Tanja26 |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Faltung der Funktionen
[mm] f(t)=e^{-|t|} [/mm] und [mm] g(t)=\begin{cases} e^{-t}, & \mbox{für } t\ge 0 \\ 0, & \mbox{für } t < 0 \end{cases}
[/mm]
Skizzieren sie das Faltungsprodukt. Wie lautet die Fouriertransformierte der Faltung [mm] f\*g [/mm] |
Meine Gedanke
[mm] f\*g=\integral_{-t}^{t}{f(x)*g(t-x) dx} [/mm] für [mm] t\ge0 [/mm] und 0 für t<0
[mm] f\*g=\integral_{-t}^{t} e^{-|x|}* e^{-(t-x)} [/mm] dx=
|x|=-x für x<0 und |x|=x für x>0
[mm] f\*g =\integral_{-t}^{0} e^{-x}* e^{-(t-x)} dx+\integral_{0}^{t} e^{x}* e^{-(t+x)} [/mm] dx
[mm] f\*g [/mm] = [mm] \integral_{-t}^{0} e^{-t}dx+\integral_{0}^{t}e^{-t}dx= e^{-t}*t+e^{-t}*t=2t*e^{-t}
[/mm]
[mm] \Rightarrow F(\omega )=F(f\*g)=2(1+\omega^2)^{-2}=\bruch{2}{(1+\omega)^{2}}
[/mm]
aber ich bin nicht sicher ob dass richtig oder nicht, vielleicht weißt jemand von euch.
Danke für die Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:41 Di 24.05.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Berechnen Sie die Faltung der Funktionen
> [mm]f(t)=e^{-|t|}[/mm] und [mm]g(t)=\begin{cases} e^{-t}, & \mbox{für } t\ge 0 \\ 0, & \mbox{für } t < 0 \end{cases}[/mm]
>
> Skizzieren sie das Faltungsprodukt. Wie lautet die
> Fouriertransformierte der Faltung [mm]f\*g[/mm]
> Meine Gedanke
> [mm]f\*g=\integral_{-t}^{t}{f(x)*g(t-x) dx}[/mm] für [mm]t\ge0[/mm] und 0 für t<0
Stimmt nicht ganz; fangen wir von vorne an:
[mm] (f\ast g)(t) = \integral_{-\infty}^{+\infty}{f(x)*g(t-x) dx} [/mm]
Nun ist $g(t-x) =0 $ für $t-x <0 [mm] \gdw [/mm] x>t$, d.h. das Integral geht nur bis t:
[mm] (f\ast g)(t) = \integral_{-\infty}^{t}{f(x)*g(t-x) dx} [/mm]
Auch für $t<0$ trägt der Anteil des Integranden mit [mm] $x\le [/mm] t$ bei.
> [mm]f\*g=\integral_{-t}^{t} e^{-|x|}* e^{-(t-x)}[/mm] dx=
> |x|=-x für x<0 und |x|=x für x>0
ok bis auf die untere Grenze, die [mm] $-\infty$ [/mm] sein muss.
> [mm]f\*g =\integral_{-t}^{0} e^{-x}* e^{-(t-x)} dx+\integral_{0}^{t} e^{x}* e^{-(t+x)} dx[/mm]
Das stimmt so nicht: 1. musst du hier zwischen $t>0 $ und [mm] $t\le [/mm] 0$ unterscheiden, und 2. darfst du nur $|x|$ ersetzen, und zwar im ersten Integral durch $-x$, im zweiten durch $x$.
Also: 1. Fall: $t>0$:
[mm]f\ast g =\integral_{-\infty}^{0} e^{-(-x)}* e^{-(t-x)} dx+\integral_{0}^{t} e^{-(x)}* e^{-(t-x)} dx[/mm]
[mm] = \integral_{-\infty}^{0} e^{2x}* e^{-t} dx + \integral_{0}^{t} e^{-t} dx [/mm]
[mm] = e^{-t} \left[\bruch{1}{2} e^{2x}\right]_{-\infty}^{0} + e^{-t} *t [/mm]
[mm] = \bruch{1}{2} e^{-t} + e^{-t} *t [/mm]
2. Fall: [mm] $t\le [/mm] 0$:
[mm]f\ast g =\integral_{-\infty}^{t} e^{-(-x)}* e^{-(t-x)} dx [/mm]
[mm] = e^{-t} \left[\bruch{1}{2} e^{2x}\right]_{-\infty}^{t} [/mm]
[mm] = \bruch{1}{2} e^t [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:39 So 29.05.2011 | | Autor: | Tanja26 |
Danke für Antwort ,ich habe jetzt alles verstanden> Hallo!
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> > Berechnen Sie die Faltung der Funktionen
> > [mm]f(t)=e^{-|t|}[/mm] und [mm]g(t)=\begin{cases} e^{-t}, & \mbox{für } t\ge 0 \\ 0, & \mbox{für } t < 0 \end{cases}[/mm]
>
> >
> > Skizzieren sie das Faltungsprodukt. Wie lautet die
> > Fouriertransformierte der Faltung [mm]f\*g[/mm]
> > Meine Gedanke
> > [mm]f\*g=\integral_{-t}^{t}{f(x)*g(t-x) dx}[/mm] für [mm]t\ge0[/mm] und 0
> für t<0
>
> Stimmt nicht ganz; fangen wir von vorne an:
>
> [mm](f\ast g)(t) = \integral_{-\infty}^{+\infty}{f(x)*g(t-x) dx}[/mm]
>
> Nun ist [mm]g(t-x) =0[/mm] für [mm]t-x <0 \gdw x>t[/mm], d.h. das Integral
> geht nur bis t:
>
> [mm](f\ast g)(t) = \integral_{-\infty}^{t}{f(x)*g(t-x) dx}[/mm]
>
> Auch für [mm]t<0[/mm] trägt der Anteil des Integranden mit [mm]x\le t[/mm]
> bei.
>
> > [mm]f\*g=\integral_{-t}^{t} e^{-|x|}* e^{-(t-x)}[/mm] dx=
> > |x|=-x für x<0 und |x|=x für x>0
>
> ok bis auf die untere Grenze, die [mm]-\infty[/mm] sein muss.
>
> > [mm]f\*g =\integral_{-t}^{0} e^{-x}* e^{-(t-x)} dx+\integral_{0}^{t} e^{x}* e^{-(t+x)} dx[/mm]
>
> Das stimmt so nicht: 1. musst du hier zwischen [mm]t>0[/mm] und [mm]t\le 0[/mm]
> unterscheiden, und 2. darfst du nur [mm]|x|[/mm] ersetzen, und zwar
> im ersten Integral durch [mm]-x[/mm], im zweiten durch [mm]x[/mm].
>
> Also: 1. Fall: [mm]t>0[/mm]:
>
> [mm]f\ast g =\integral_{-\infty}^{0} e^{-(-x)}* e^{-(t-x)} dx+\integral_{0}^{t} e^{-(x)}* e^{-(t-x)} dx[/mm]
>
> [mm]= \integral_{-\infty}^{0} e^{2x}* e^{-t} dx + \integral_{0}^{t} e^{-t} dx[/mm]
>
> [mm]= e^{-t} \left[\bruch{1}{2} e^{2x}\right]_{-\infty}^{0} + e^{-t} *t[/mm]
>
> [mm]= \bruch{1}{2} e^{-t} + e^{-t} *t[/mm]
>
> 2. Fall: [mm]t\le 0[/mm]:
>
> [mm]f\ast g =\integral_{-\infty}^{t} e^{-(-x)}* e^{-(t-x)} dx[/mm]
>
> [mm]= e^{-t} \left[\bruch{1}{2} e^{2x}\right]_{-\infty}^{t}[/mm]
>
> [mm]= \bruch{1}{2} e^t[/mm]
>
> Viele Grüße
> Rainer
Danke für die Antwort,dass hat mior richtig geholfen
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