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Forum "Differentialgleichungen" - Dgl max.eine Lsg,f mon.fallend
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Dgl max.eine Lsg,f mon.fallend: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:42 So 18.06.2017
Autor: Noya

Aufgabe
Sei f = f(t,u) eine stetige Funktion auf R := {(t,u) [mm] \in \IR^2 [/mm] : [mm] t_0\le [/mm] t [mm] \le t_0 [/mm] + a,|u− [mm] u_0|\le [/mm] b}, wobei a,b > 0 und [mm] u_0,t_0 \in \IR. [/mm] Für jedes festes t [mm] \in [t_0,t_0 [/mm] + a] sei die Funktion u [mm] \mapsto [/mm] f(t,u) monoton fallend in u. Zeigen Sie, dass das Anfangswertproblem
[mm] \begin{cases} u'(t) = f(t,u(t)) \\ u(t_0)=u_0 \end{cases} [/mm]

höchstens eine Lösung in [mm] [t_0,t_0 [/mm] + a] besitzt. Gilt die Behauptung immer noch, wenn ”fallend” durch ”steigend” ersetzt wird?

Hallo ihr Lieben,
habt ihr zufällig einen Tipp für mich wie ich da vorgehen kann?

mir fäält ktuell nichts ein, was ich machen könnte.
ich suche ja höchstens eine Lösung der Gestalt [mm] u(t)=u_0 [/mm] + [mm] \int^{t}_{t_0} [/mm] f(s,u(s))ds
höchstens bedeutet ja keine oder eine.
f monoton fallend : [mm] x_1 [/mm] < [mm] x_2 [/mm] : [mm] f(x_1)\ge f(x_2) [/mm] würde doch hier bedeuten ich unterteile mein Intervall [mm] I=[t_0,t_0+a] [/mm] unn dann [mm] t_{01} [/mm] < [mm] t_{02} [/mm] : [mm] f(t_{01},u(t_{01})\le f(t_{02},u(t_{02})) [/mm]
aber wie unterteile ich das?
wenn ich mir irgendwie eine Folge definiere [mm] u_m(t) [/mm] und dann [mm] J=[t_0,t_0+a/m] [/mm]  oder so?

Bin mir gerade irgendwie total verwirrt.

Wäre super wenn ihr mich unterstützt und helft!

Danke



        
Bezug
Dgl max.eine Lsg,f mon.fallend: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:10 So 18.06.2017
Autor: leduart

Hallo
Du hast es hier doch mit einer Dgl zu tun, da ist eine "Lösung" so wie du sie hinschreibst recht sinnlos, die unbekannte Funktion u kommt links und rechts vor!
Welche Sätze über Lösungen von Dgl erster Ordnung hattet ihr denn, die solltest du nachsehen.
Gruß ledum

Bezug
                
Bezug
Dgl max.eine Lsg,f mon.fallend: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:46 So 18.06.2017
Autor: Noya


> Hallo
>   Du hast es hier doch mit einer Dgl zu tun, da ist eine
> "Lösung" so wie du sie hinschreibst recht sinnlos, die
> unbekannte Funktion u kommt links und rechts vor!
>   Welche Sätze über Lösungen von Dgl erster Ordnung
> hattet ihr denn, die solltest du nachsehen.
>  Gruß ledum

Hallöchen,

also wir haben angefangen mit

peano (+eine Folgerung für f stetig auf einem Rechteck)
[mm] \epsilon-Näherungslösung [/mm]
Cauchy-Peano
Picard-Lindelöf
Picard-Iteration
Fortsetzung der Lösung
dann kamen Methoden zum lösen von Dgl 1.ordnung für lineare DGL und exakte DGL

weiß aber ehrlich gesagt nicht so genau was ich davon benutzen soll...

Bezug
                        
Bezug
Dgl max.eine Lsg,f mon.fallend: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:26 Mo 19.06.2017
Autor: leduart

Hallo
benutze  Picard-Lindelöf , der einzige, der was über eindeutige Lösungen sagt.
Gruß ledum

Bezug
                                
Bezug
Dgl max.eine Lsg,f mon.fallend: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:29 Mi 21.06.2017
Autor: Noya

Hab es per Widerspruch beweis gemacht und angenommen, dass ich zwei lösungen habe v [mm] \not= [/mm] aber für die gilt v < w, s.d dann gelten müsste f(t,v(t))>f(t,w(t) , was aber nicht gilt wenn ich die zwei lösungen habe. u.a. mit hilfe  des mittelwertsatzes angwendet auf die differenz s=v-w, da ja f(t.v(t))=v'(t) .

Dank dir!

Bezug
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