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Forum "Abbildungen und Matrizen" - Abbildung linear?
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Abbildung linear?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:09 Sa 04.06.2016
Autor: sinnlos123

Aufgabe
Betrachten Sie die [mm] \IR-linearen [/mm] Räume [mm] \IR^{2},\IR^{3} [/mm] und die Abbildungen f,g: [mm] \IR^{3}\to\IR^{2}, [/mm] die gegeben sind als
[mm] f\vektor{x \\ y \\ z}=\vektor{x -z \\ y +z} [/mm]

....

Entscheiden Sie, ob f eine lineare Abbildung ist und....

Hallo, ich verstehe das nicht.

Muss z in dem Fall (immer) 0 sein, da:
x=x-z
0=-z ?
Oder wie wird man aus so einer Darstellung schlau?

Aus einem anderen Thread hier weiß ich, dass R³->R² nie injektiv ist. Hilft mir das weiter bei der Fragestellung?


        
Bezug
Abbildung linear?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:12 Sa 04.06.2016
Autor: fred97


> Betrachten Sie die [mm]\IR-linearen[/mm] Räume [mm]\IR^{2},\IR^{3}[/mm] und
> die Abbildungen f,g: [mm]\IR^{3}\to\IR^{2},[/mm] die gegeben sind
> als
>  [mm]f\vektor{x \\ y \\ z}=\vektor{x -z \\ y +z}[/mm]
>
> ....
>  
> Entscheiden Sie, ob f eine lineare Abbildung ist und....
>  Hallo, ich verstehe das nicht.
>  
> Muss z in dem Fall (immer) 0 sein, da:
>  x=x-z
>  0=-z ?


Nein , das ist Unsinn !


>  Oder wie wird man aus so einer Darstellung schlau?

f ordnet dem Vektor [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] den Vektor [mm] \vektor{x -z \\ y +z} [/mm] zu.


>  
> Aus einem anderen Thread hier weiß ich, dass R³->R² nie
> injektiv ist. Hilft mir das weiter bei der Fragestellung?

Nein.

FRED

>  


Bezug
                
Bezug
Abbildung linear?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:18 Sa 04.06.2016
Autor: sinnlos123

Ok, also:

[mm] a=\vektor{x \\ y \\ z} [/mm]
[mm] b=\vektor{d \\ e \\ f} [/mm]

Zu zeigen:
f(a+b)=f(a)+f(b)

Und [mm] \lambda \in \IR [/mm] sei beliebig gewählt.

[mm] \lambda f(a)=f(\lambda [/mm] a)

Hab ich aufm Papier gerechnet, stimmt für beides.

Wäre das die richtige Mthode um das zu überprüfen?

Bezug
                        
Bezug
Abbildung linear?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:52 Sa 04.06.2016
Autor: angela.h.b.


> Ok, also:
>  
> [mm]a=\vektor{x \\ y \\ z}[/mm]
>  [mm]b=\vektor{d \\ e \\ f}[/mm]
>  
> Zu zeigen:
>  f(a+b)=f(a)+f(b)
>  
> Und [mm]\lambda \in \IR[/mm] sei beliebig gewählt.
>  
> [mm]\lambda f(a)=f(\lambda[/mm] a)
>  
> Hab ich aufm Papier gerechnet, stimmt für beides.
>  
> Wäre das die richtige Mthode um das zu überprüfen?

Ja.

LG Angela


Bezug
                                
Bezug
Abbildung linear?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:24 Sa 04.06.2016
Autor: sinnlos123

Was ich nicht verstehe ist:

was soll das mit [mm] \lambda f(a)=f(\lambda [/mm] a)
?

Welche Abbildung kann das denn nicht erfüllen? (ein simples Beispiel genügt!)

Oder ist [mm] \lambda [/mm] nicht immer [mm] \in \IR [/mm] sondern könnte z.b. auch nur [mm] \in [/mm] {1,2,3} liegen?

Bezug
                                        
Bezug
Abbildung linear?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:02 Sa 04.06.2016
Autor: Stala

Eine nicht-lineare Abbildung erfüllt das nicht, zum Biepsiel:

[mm] f(a)=a^2 [/mm]

[mm] f(\lambda [/mm] a) = [mm] (\lambda a)^2= \lambda^2*a^2 \not= \lambda *a^2 [/mm] = [mm] \lambda*f(a) [/mm]

für [mm] \lambda \not= [/mm] 1

Bezug
                                                
Bezug
Abbildung linear?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:13 Sa 04.06.2016
Autor: sinnlos123

Ok, dann vermutlich die letzte Frage hierzu:

Man soll noch eine Basis des Bildes von f bestimmen.

Kann ich hier einfach argumentieren:
Das Bild ist ganz [mm] \IR^{2}, [/mm] da ganz [mm] \IR^{2} [/mm] "herauskommen" kann.
(leicht zu überprüfen, einfach z 0 lassen und x,y "durchrattern" lassen)

Da jede Basis in diesem Fall genau 2 Vektoren hat, reicht hier diese:

{ [mm] {\vektor{1 \\ 0},\vektor{0 \\ 1}} [/mm] }
(weil linear unabhängig und genau 2 Vektoren)

richtig so?

Bezug
                                                        
Bezug
Abbildung linear?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:19 So 05.06.2016
Autor: fred97


> Ok, dann vermutlich die letzte Frage hierzu:
>  
> Man soll noch eine Basis des Bildes von f bestimmen.
>  
> Kann ich hier einfach argumentieren:
>  Das Bild ist ganz [mm]\IR^{2},[/mm] da ganz [mm]\IR^{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

"herauskommen"

> kann.
>  (leicht zu überprüfen, einfach z 0 lassen und x,y
> "durchrattern" lassen)

Na klar kannst Du so argumentieren, nur wird das kein ernsthafter Mathematiker, und ein solcher willst Du doch werden, akzeptieren.


>  
> Da jede Basis in diesem Fall genau 2 Vektoren hat, reicht
> hier diese:
>  
> { [mm]{\vektor{1 \\ 0},\vektor{0 \\ 1}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

}

>  (weil linear unabhängig und genau 2 Vektoren)
>  
> richtig so?

Mein Gott,warum zeigst Du nicht, dass diese beiden Vektoren im Bild von f liegen ???

fred


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